《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

2. 如图 1-3-9,在△ABC 中,∠ABC= 90°,BD 平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB,垂足分别为 E,F. 求证：四边形 BFDE 是正方形.

答案： 解：
因为$DE\perp BC$，$DF\perp AB$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，
所以$\angle DFB=\angle FBE=\angle DEB = 90^{\circ}$，
根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，可得四边形$BFDE$是矩形。
又因为$BD$平分$\angle ABC$，$DE\perp BC$，$DF\perp AB$，
根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得$DE = DF$。
因为矩形$BFDE$的邻边$DE = DF$，
根据“一组邻边相等的矩形是正方形”，所以四边形$BFDE$是正方形。

满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？

答案： 邻边相等的矩形是正方形；
有一个角为直角的菱形是正方形。

探究：
问题 1：什么样的平行四边形是正方形？
问题 2：对角线相等的菱形是正方形吗？你能证明吗？
问题 3：对角线互相垂直的矩形是正方形吗？你能证明吗？
问题 4：有一个角是直角的菱形是正方形吗？你能证明吗？
问题 5：有一组邻边相等的矩形是正方形吗？你能证明吗？
归纳总结：
正方形的判定方法
1. 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2. 其他判定方法：对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形.

答案： 问题1:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 问题2:是，证明略. 问题3:是，证明略. 问题4:是，证明略. 问题5:是，证明略.

【例 1】如图 1-3-10,在矩形 ABCD 中,BE 平分∠ABC,CE 平分∠DCB,BF//EC,CF//EB. 求证：四边形 BECF 是正方形.

答案： 证明:
∵BF//EC,CF//EB,
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°.
∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°,
　　　∠ECB=$\frac{1}{2}$∠DCB=45°.
∴∠EBC=∠ECB,
∴EB=EC.
∴平行四边形BECF是菱形.
∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,
∴∠BEC=90°.
∴菱形BECF是正方形.

【例 2】如图 1-3-11,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 BD 延长线上一点,且△ACE 是等边三角形.
(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；
(2)若∠AED= 2∠EAD,求证：四边形 ABCD 是正方形.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO.
　　　又
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC,即DB⊥AC;
∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)
∵△ACE是等边三角形，
∴∠AEC=60°.
∵EO⊥AC,
∴∠AEO=$\frac{1}{2}$∠AEC=30°.
∵∠AED=2∠EAD,
∴∠EAD=15°.
∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ADC=2∠ADO=90°.
∴四边形ABCD是正方形.