《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. ▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,要使它成为矩形,需再添加的条件是(B)。
A.AO = OC
B.AC = BD
C.AC ⊥ BD
D.BD 平分∠ABC

答案： B

2. 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤：
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图 1-2-8①),使 AB = CD,EF = GH；
(2)摆放成如图 1-2-8②所示的四边形,则这时窗框的形状是平行四边形,根据的数学原理是两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图 1-2-8③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图 1-2-8④),说明窗框合格,这时窗框的形状是矩形,根据的数学原理是有一个角是直角的平行四边形是矩形。

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答案：
(2)平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(3)矩形;有一个角是直角的平行四边形是矩形

1. 下列检查一个门框是不是矩形的方法正确的是(C)。
A.测量两条对角线是否相等
B.用直角尺测量对角线是否互相垂直
C.用直角尺测量门框的三个角是否都是直角
D.测量两条对角线是否互相平分

答案： C

2. 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,OA = OC = 5,OB = OD,∠ABC = 90°,则 BD = 10。
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答案： 10

3. 如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,已知下列 6 个条件：①AB // DC；②AB = DC；③AC = BD；④∠ABC = 90°；⑤OA = OC；⑥OB = OD。其中,不能使四边形 ABCD 成为矩形的有(C)。

A.①②③
B.②③④
C.②⑤⑥
D.④⑤⑥

答案： C

4. 如图,在△ABC 中,D 是 AB 的中点,过点 A 作 BC 的平行线交 CD 的延长线于点 E,连接 BE。
(1)求证：AC = EB；
(2)若 BD = CD,试判断四边形 ACBE 是什么特殊的平行四边形,并证明你的结论。
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答案： 1. （1）
证明：
因为$AE// BC$，所以$\angle EAD=\angle BCD$，$\angle AED = \angle BCD$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$D$是$AB$的中点，所以$AD = BD$。
在$\triangle ADE$和$\triangle BDC$中：
$\begin{cases}\angle AED=\angle BCD\\\angle EAD=\angle BCD\\AD = BD\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ADE\cong\triangle BDC$。
所以$AE = BC$（全等三角形对应边相等）。
又因为$AE// BC$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ACBE$是平行四边形。
根据平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，所以$AC = EB$。
2. （2）
解：四边形$ACBE$是矩形。
证明：
因为四边形$ACBE$是平行四边形（已证）。
又因为$BD = CD$，$AD = BD$，所以$AD = BD = CD$。
在$\triangle ABC$中，$AD = BD = CD$，根据直角三角形斜边中线定理的逆定理（如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形），可得$\angle ACB = 90^{\circ}$。
有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形$ACBE$是矩形。
综上，（1）得证$AC = EB$；（2）四边形$ACBE$是矩形。