《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

2. 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的步骤是什么？

答案： 1. 移项：把常数项移到方程右边；
2. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方式；
3. 变形：将左边写成平方形式，右边合并同类项；
4. 开方：如果右边是非负数，两边开平方，得到两个一元一次方程；
5. 求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的解。

1. 用适当的数填空：
(1)$x^2 + 6x +$9$=(x +$3$)^2$；
(2)$x^2 - 5x +$$\frac{25}{4}$$=(x -$$\frac{5}{2}$$)^2$；
(3)$x^2 + x +$$\frac{1}{4}$$=(x +$$\frac{1}{2}$$)^2$；
(4)$x^2 - 9x +$$\frac{81}{4}$$=(x -$$\frac{9}{2}$$)^2$.

答案： 1.
(1)9;3
(2)$\frac{25}{4}$;$\frac{5}{2}$
(3)$\frac{1}{4}$;$\frac{1}{2}$
(4)$\frac{81}{4}$;$\frac{9}{2}$

2. 将二次三项式$x^2 - 3x - 5$进行配方,其结果为$(x-\frac{3}{2})^{2}-\frac{29}{4}$.

答案： $(x-\frac{3}{2})^{2}-\frac{29}{4}$

1. 配方法所应用的公式是什么？

答案： 完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$

2. 如何利用配方法解一元二次方程？

答案： 利用配方法解一元二次方程的一般步骤如下：
1. 对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$，先将常数项移到等号右边，得到 $ax^{2}+bx=-c$。
2. 方程两边同时除以二次项系数 $a$，化为 $x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$。
3. 在等式两边加上一次项系数一半的平方，即 $x^{2}+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^{2}$。
4. 左边可写成完全平方式 $(x + \frac{b}{2a})^{2}$，右边进行通分计算，得到 $(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$。
5. 当 $b^{2}-4ac\geq0$ 时，两边同时开平方，$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
6. 移项可得方程的解为 $x_{1}=\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$x_{2}=\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；当 $b^{2}-4ac\lt0$ 时，方程无实数根。

 探究一：理解配方法的含义
问题 1：用配方法解一元二次方程$x^2 - 3x = 4$的第一步应该怎样做？
问题 2：由问题 1 得到的新方程是什么？配方后得到的方程是什么？

答案： 问题1:方程两边同时加上$\frac{9}{4}$. 问题2:$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$;$(x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{25}{4}$.

探究二：用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程
解一元二次方程$x^2 - 2x - 4 = 0$.
问题 1：将$x^2 - 2x - 4 = 0化成(x + m)^2 = n$的形式为$(x-1)^{2}=5$.
问题 2：两边开平方,得$x-1=\pm\sqrt{5}$.
问题 3：所以方程的根为$x_{1}=\sqrt{5}+1$,$x_{2}=1-\sqrt{5}$.

答案： 问题1:$(x-1)^{2}=5$ 问题2:$x-1=\pm\sqrt{5}$ 问题3:$x_{1}=\sqrt{5}+1$,$x_{2}=1-\sqrt{5}$

归纳总结：
1. 解一元二次方程的思路是将方程转化为$(x+m)^{2}=n$的形式,它的一边是一个完全平方的形式,另一边是一个常数,当$n\geq0$时,两边同时开平方,转化为一元一次方程,便可求出它的根.
2. 我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.

答案： 1.$(x+m)^{2}=n$;完全平方的形式;常数;$n\geq0$;一元一次方程 2.配方法

【例 1】解方程：$x^2 + 8x - 9 = 0$.

答案： $x_{1}=1$,$x_{2}=-9$.

【例 2】一条长 64 cm 的铁丝被剪成两段,每段均折成正方形. 若这两个正方形的面积和等于$ 160 cm^2,$求这两个正方形的边长.

答案： 解:设一个正方形的边长为$x\ cm$.根据题意,得$x^{2}+(\frac{64-4x}{4})^{2}=160$,解得$x_{1}=12$,$x_{2}=4$.答:这两个正方形的边长分别为12 cm和4 cm.