《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

6. 若一元二次方程$x^{2}-2x - a = 0$没有实数根,则一次函数$y= (a + 1)x+(a - 1)$的图象不经过(A)。
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A

7. 若关于$x的一元二次方程mx^{2}-4x + 2 = 0$有实数根,求$m$的取值范围。

答案： m≤2,且m≠0.

8. 已知$x_{1}$,$x_{2}是方程x^{2}-4x + 2 = 0$的两根,求：
(1)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$的值；
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}$的值。

答案： 1. 首先求$x_{1}+x_{2}$与$x_{1}x_{2}$的值：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其两根$x_{1}$，$x_{2}$有$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-4x + 2 = 0$中，$a = 1$，$b=-4$，$c = 2$。
所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{-4}{1}=4$，$x_{1}x_{2}=\frac{2}{1}=2$。
2. 然后求$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$的值：
对$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$进行通分，$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}$。
把$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=2$代入上式，得$\frac{4}{2}=2$。
3. 最后求$(x_{1}-x_{2})^{2}$的值：
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，则$(x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$。
又因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，所以$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$。
把$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=2$代入$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$，得$4^{2}-4×2$。
先计算$4^{2}=16$，$4×2 = 8$，则$16-8 = 8$。
综上，（1）$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$的值为$2$；（2）$(x_{1}-x_{2})^{2}$的值为$8$。

9. 某超市销售一种饮料,平均每天可售出$100$箱,每箱利润为$120$元,为了提高销售量,尽快减少库存,超市准备适当降价。据测算,若每箱降价$2$元,则每天可多售出$4$箱。
(1)若要使每天销售该饮料获利$14000$元,则每箱应降价多少元？
(2)每天销售该饮料获利能达到$14500$元吗？若能,则每箱应降价多少元？若不能,请说明理由。

答案： 解:
(1)设每箱应降价x元.依题意列方程,得(120-x)(100+x/2×4)=14000.整理,得x²-70x+1000=0,解得x₁=20,x₂=50.
∵为了提高销售量,尽快减少库存,
∴x=50.答:若要使每天销售该饮料获利14000元,则每箱应降价50元.
(2)不能.理由如下:由题意,得(120-x)(100+2x)=14500.整理,得x²-70x+1250=0.
∵Δ=70²-4×1250＜0,
∴此方程无实数根.
∴该超市每天销售这种饮料的获利不可能达到14500元.

1. 将$4个数a$,$b$,$c$,$d排成2行2$列,两边各加一条竖直线记成$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} $,定义$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$,上述记号就叫做$2$阶行列式。若$\begin{vmatrix}x + 1&x - 1\\1 - x&x + 1\end{vmatrix} = 6$,则$x= $$±\sqrt{2}$。

答案： $±\sqrt2$　　

2. 已知关于$x的方程x^{2}-(2k + 1)x + 4(k-\frac{1}{2}) = 0$。若等腰三角形$ABC一边的长a = 4$,另两边的长$b$,$c$恰好是这个方程的两个实数根,求$\triangle ABC$的周长。

答案： 提示:若a=4为底,则b=c,Δ=0,可得k=1.5,b=c=2,而2+2=4,构不成三角形.若a=4为腰,可求得三边的长分别为4,4,2,故周长为10.