《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

判定一个四边形为菱形的三种方法：
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(3)四边相等的四边形是菱形。

答案：
(1)邻边;平行四边形
(2)互相垂直
(3)相等

1. 若要使□ABCD 成为菱形,则需要添加的条件可以是(C)。
A.AB = CD
B.AD = BC
C.AB = BC
D.AC = BD

答案： C

2. 如图 1 - 1 - 7,在△ABC 中,D 是 BC 边上的一点,DE//AC 交 AB 于点 E,DF//AB 交 AC 于点 F。下列四个判断不正确的是(D)。

A.四边形 AEDF 是平行四边形
B.如果 AE = AF,那么四边形 AEDF 是菱形
C.如果 AD 平分∠BAC,那么四边形 AEDF 是菱形
D.如果 AD⊥BC,那么四边形 AEDF 是菱形

答案： D

平行四边形具备什么条件就能成为菱形？

答案： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

探究：
根据菱形的定义,有一组邻边相等的平行四边形是菱形。除此之外,你认为还有什么条件可以判定一个平行四边形为菱形？
1. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？试证明。
已知：如图 1 - 1 - 8,在平行四边形$ABCD$中，$AC\perp BD$，垂足为$O$。
求证：平行四边形$ABCD$是菱形。

结论：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
2. 四边相等的四边形是菱形吗？试证明。
已知：如图 1 - 1 - 9,在四边形$ABCD$中，$AB = BC = CD = DA$。
求证：四边形$ABCD$是菱形。

结论：四边相等的四边形是菱形。

答案： 1. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
- **已知**：如图，在平行四边形$ABCD$中，$AC\perp BD$，垂足为$O$。
- **求证**：平行四边形$ABCD$是菱形。
- **证明**：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$BO = DO$（平行四边形对角线互相平分）。
又因为$AC\perp BD$，所以$AC$是线段$BD$的垂直平分线。
根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得$AB = AD$。
因为有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形$ABCD$是菱形。
- **结论**：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
2. 四边相等的四边形是菱形吗？
已知**：如图，在四边形$ABCD$中，$AB = BC = CD = DA$。
求证**：四边形$ABCD$是菱形。
证明**：
因为$AB = CD$，$AD = BC$，根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
又因为$AB = AD$，根据菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形$ABCD$是菱形。
结论**：四边相等的四边形是菱形。
综上，答案依次为：
1. 在平行四边形$ABCD$中，$AC\perp BD$，垂足为$O$；平行四边形$ABCD$是菱形；对角线互相垂直。
2. 在四边形$ABCD$中，$AB = BC = CD = DA$；四边形$ABCD$是菱形；四边相等。