《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

6. 如图,AC 是正方形 ABCD 的对角线,∠DCA 的平分线交 BA 的延长线于点 E. 若 AB= 3,则 AE= $3\sqrt{2}$.

答案： $3\sqrt2$　　

7. 如图,E 为正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,且 BE= BC,则∠DCE 的度数为22.5°.

答案： 22.5°

$8. $如图$,$在正方形$ ABCD $中$,$对角线$ AC,BD $交于点$ O,E $为线段$ BD $上一点$,$延长$ AE $到点$ N,$使$ AE= EN,$连接$ CN,CE.$　　
$(1)$求证：$AE= CE；$　　
$(2)$判断$△ACN $的形状$,$并说明理由；　　
$(3)$若$ AN= 4\sqrt{5},AB= 6,$求$ CN $的长$.$　　

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = CB$，$\angle ABE=\angle CBE = 45^{\circ}$，$BE = BE$。
根据$SAS$（边角边）判定定理，在$\triangle ABE$和$\triangle CBE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CB\\\angle ABE=\angle CBE\\BE = BE\end{array}\right.$。
所以$\triangle ABE\cong\triangle CBE$。
由全等三角形的性质可知$AE = CE$。
2. （2）判断$\triangle ACN$的形状：
因为$AE = CE$，$AE = EN$，所以$CE = AE=EN$。
根据直角三角形斜边中线定理的逆定理（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），在$\triangle ACN$中，$CE$是$AN$边上的中线，且$CE=\frac{1}{2}AN$，所以$\triangle ACN$是直角三角形。
3. （3）求$CN$的长：
因为四边形$ABCD$是正方形，$AB = 6$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$（$AB = BC = 6$），所以$AC=\sqrt{6^{2}+6^{2}}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。
已知$AN = 4\sqrt{5}$，由（2）知$\triangle ACN$是直角三角形，根据勾股定理$CN=\sqrt{AN^{2}-AC^{2}}$。
把$AN = 4\sqrt{5}$，$AC = 6\sqrt{2}$代入可得：
$CN=\sqrt{(4\sqrt{5})^{2}-(6\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{80 - 72}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
综上，（1）已证$AE = CE$；（2）$\triangle ACN$是直角三角形；（3）$CN$的长为$2\sqrt{2}$。

1. 将 n 个边长都为 1 cm 的正方形按如图所示的方式摆放,点$ A_1,A_2,…,Aₙ $分别是正方形的中心,则 n 个这样的正方形形成的重叠部分(阴影部分)的面积和为$\frac{n-1}{4}$cm².

答案： $\frac{n-1}{4}$cm²

1. 对角线相等的菱形是正方形.

答案： 相等

2. 对角线互相垂直的矩形是正方形.

答案： 互相垂直

3. 有一个角是直角的菱形是正方形.

答案： 菱形

4. 有一组邻边相等的矩形是正方形.

答案： 矩形

1. 下列条件能判定四边形是正方形的是(D).
A.对角线互相平分且垂直
B.对角线相等且互相平分
C.四个角都是直角
D.对角线相等且互相垂直平分

答案： D