《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 菱形的面积为24,一条对角线的长为6,则菱形的边长为5,菱形的高为24/5.

答案： 5；24/5

2. 菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线的长为12cm,则菱形的周长为48 cm.

答案： 48 cm

3. 菱形的两邻角的度数之比为1∶2,边长为2,则菱形的面积为$2\sqrt3$.

答案： $2\sqrt3$　　

4. 菱形ABCD的面积为24,周长为40,则菱形ABCD的一组对边之间的距离为2.4.

答案： 2.4

5. 从菱形的钝角顶点向对边引垂线,如果垂线平分对边,那么菱形的四个角的度数分别为60°，120°，60°，120°.

答案： 60°，120°，60°，120°

6. 如图,四边形ABCD是菱形,且BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为E,F.
(1)求证：BE= BF；
(2)当菱形ABCD的对角线AC= 8,BD= 6时,求BE的长.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = CB$，$\angle A=\angle C$。
又因为$BE\perp AD$，$BF\perp CD$，所以$\angle AEB=\angle CFB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CBF$中，$\begin{cases}\angle AEB=\angle CFB\\\angle A=\angle C\\AB = CB\end{cases}$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABE\cong\triangle CBF$。
所以$BE = BF$（全等三角形的对应边相等）。
2. （2）解：
因为菱形$ABCD$的对角线$AC = 8$，$BD = 6$。
设$AC$与$BD$相交于点$O$，根据菱形的性质，$AC\perp BD$，$AO=\frac{1}{2}AC = 4$，$DO=\frac{1}{2}BD = 3$。
在$Rt\triangle AOD$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = AO$，$b = DO$，$c = AD$），则$AD=\sqrt{AO^{2}+DO^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。
菱形的面积$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD$（对角线乘积的一半），也可以表示为$S = AD\cdot BE$。
由$\frac{1}{2}AC\cdot BD=AD\cdot BE$，把$AC = 8$，$BD = 6$，$AD = 5$代入可得：
$\frac{1}{2}×8×6=5× BE$。
$24 = 5BE$。
解得$BE=\frac{24}{5}$。
综上，（1）得证$BE = BF$；（2）$BE$的长为$\frac{24}{5}$。

7. 如图,在菱形ABCD中,P是AB边上的一个动点(不与点A,B重合),连接DP交对角线AC于点E,连接BE.
(1)求证：∠APD= ∠CBE.
(2)试问点P运动到什么位置时,△ADP的面积等于菱形ABCD面积的$\frac{1}{4}$？请说明理由.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$BC = CD$，$AC$平分$\angle BCD$，即$\angle BCE=\angle DCE$，又$CE = CE$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle BCE\cong\triangle DCE$。
所以$\angle CBE=\angle CDE$。
因为$AB// CD$，所以$\angle APD=\angle CDE$。
所以$\angle APD = \angle CBE$。
2. （2）解：
当$P$为$AB$的中点时，$S_{\triangle ADP}=\frac{1}{4}S_{菱形ABCD}$。
理由如下：
连接$DB$。
因为$P$是$AB$的中点，所以$S_{\triangle ADP}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}$（等底同高的三角形面积关系：$S = \frac{1}{2}ah$，$\triangle ADP$与$\triangle ABD$高相同，$AP=\frac{1}{2}AB$）。
又因为四边形$ABCD$是菱形，所以$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{菱形ABCD}$（菱形的一条对角线把菱形分成两个面积相等的三角形）。
那么$S_{\triangle ADP}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_{菱形ABCD}=\frac{1}{4}S_{菱形ABCD}$。
综上，（1）得证；（2）当$P$为$AB$中点时，$\triangle ADP$的面积等于菱形$ABCD$面积的$\frac{1}{4}$。

1. 如图,在菱形ABCD中,AB= 2,∠ABC= 120°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,求PE+PB的最小值.

答案： 1. 首先，根据菱形的性质：
菱形的对角线互相垂直且平分，点$B$关于$AC$的对称点是点$D$。
连接$DE$，$DE$与$AC$的交点即为$P$点（此时$PE + PB=PE + PD = DE$，根据两点之间线段最短，$DE$就是$PE + PB$的最小值）。
2. 然后，求$\angle DAE$的度数：
因为四边形$ABCD$是菱形，$\angle ABC = 120^{\circ}$，所以$\angle BAD=60^{\circ}$（菱形邻角互补，$\angle ABC+\angle BAD = 180^{\circ}$）。
又因为$AB = AD$（菱形的四条边相等），所以$\triangle ABD$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。
已知$E$是$AB$的中点，$AB = 2$，则$AE=\frac{1}{2}AB = 1$，$AD = AB = 2$。
3. 最后，根据勾股定理求$DE$的长度：
在$Rt\triangle ADE$中（$\triangle ABD$是等边三角形，$E$是$AB$中点，根据等边三角形三线合一，$DE\perp AB$），由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = AE$，$b = DE$，$c = AD$），可得$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}$。
把$AD = 2$，$AE = 1$代入$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}$，即$DE=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{4 - 1}=\sqrt{3}$。
所以$PE + PB$的最小值是$\sqrt{3}$。