《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 若方程 $ ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0) $ 有两个相等的实数根,则有$b^{2}-4ac=0$；若有两个不相等的实数根,则有$b^{2}-4ac＞0$；若方程无实数根,则有$b^{2}-4ac＜0$。

答案： $b^{2}-4ac=0$；$b^{2}-4ac＞0$；$b^{2}-4ac＜0$

2. 若方程 $ 3x^2 + bx + 1 = 0 $ 无解,则 $ b $ 应满足的条件是$b^{2}＜12$。

答案： $b^{2}＜12$

3. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2x + c = 0 (c \leq 1) $ 的两根为$x_{1}=-1+\sqrt {1-c}$，$x_{2}=-1-\sqrt {1-c}$。

答案： $x_{1}=-1+\sqrt {1-c}$，$x_{2}=-1-\sqrt {1-c}$

4. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2x + m = 0 $ 有实数根,则 $ m $ 的值可以是(A)。
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： A

5. 已知 $ a $,$ b $,$ c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边长,且方程 $ a(1 + x^2) + 2bx - c(1 - x^2) = 0 $ 的两根相等,则 $ \triangle ABC $ 为(C)。
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.任意三角形

答案： C

6. 不解方程,判断所给方程① $ x^2 + 3x + 7 = 0 $,② $ x^2 + 4 = 0 $,③ $ x^2 + x - 1 = 0 $ 中有实数根的方程有(B)。
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个

答案： B

1. 已知一个矩形的长比宽多 2 cm,其面积为 $ 8 cm^2 $,则此矩形的周长为12 cm。

答案： 12 cm

2. 如果关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 6x + m = 0 $ 有两个相等的实数根,那么 $ m = $9。

答案： 9

3. 不解方程,判断所给方程① $ x^2 + 2x + 6 = 0 $,② $ x^2 - 4 = 0 $,③ $ x^2 + 2x - 1 = 0 $ 中有实数根的方程有2个。

答案： 2

4. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (k - 1)x^2 + 2x - 2 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ k $ 的取值范围是(C)。
A.$ k ＞ \frac{1}{2} $
B.$ k \geq \frac{1}{2} $
C.$ k ＞ \frac{1}{2} $,且 $ k \neq 1 $
D.$ k \geq \frac{1}{2} $,且 $ k \neq 1 $

答案： C

5. 解方程：
(1) $ 2x^2 - 3x - 5 = 0 $；
(2) $ 2t^2 + 3 = 7t $；
(3) $ x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0 $；
(4) $ 0.4x^2 - 0.8x = 1 $。

答案： 1. （1）解方程$2x^{2}-3x - 5 = 0$：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 2$，$b=-3$，$c=-5$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×(-5)=9 + 40=49$。
再根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，则$x=\frac{3\pm\sqrt{49}}{2×2}=\frac{3\pm7}{4}$。
当$x=\frac{3 + 7}{4}$时，$x=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$；当$x=\frac{3-7}{4}$时，$x=-1$。
2. （2）解方程$2t^{2}+3 = 7t$：
移项化为一般式$2t^{2}-7t + 3 = 0$，其中$a = 2$，$b=-7$，$c = 3$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4×2×3=49-24 = 25$。
由求根公式$t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$t=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2×2}=\frac{7\pm5}{4}$。
当$t=\frac{7 + 5}{4}$时，$t = 3$；当$t=\frac{7-5}{4}$时，$t=\frac{1}{2}$。
3. （3）解方程$x^{2}-2\sqrt{2}x + 1 = 0$：
这里$a = 1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c = 1$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4×1×1=8 - 4=4$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，则$x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{2\sqrt{2}\pm2}{2}=\sqrt{2}\pm1$。
4. （4）解方程$0.4x^{2}-0.8x = 1$：
化为一般式$0.4x^{2}-0.8x - 1 = 0$，两边同乘$5$得$2x^{2}-4x - 5 = 0$，其中$a = 2$，$b=-4$，$c=-5$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×2×(-5)=16 + 40=56$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{4\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{14}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$。
综上，（1）$x_1=\frac{5}{2},x_2=-1$；（2）$t_1 = 3,t_2=\frac{1}{2}$；（3）$x_1=\sqrt{2}+1,x_2=\sqrt{2}-1$；（4）$x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$。

6. 如图是一个正方体的表面展开图,标注了字母 $ A $ 的面是正方体的正面。如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等,求 $ x $ 的值。

答案： 解：由正方体表面展开图可知，左面的代数式为$x^{2}$，右面的代数式为$3x - 2$。
因为正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，所以$x^{2}=3x - 2$，
移项得$x^{2}-3x + 2 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 2)=0$，
则$x - 1 = 0$或$x - 2 = 0$，
解得$x = 1$或$x = 2$。
综上，$x$的值为$1$或$2$。