《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

4. 如图 1 - 1 - 14,将▱ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠,使点 D 落到 AB 边上的点 F 处,折痕交 CD 边于点 E. 求证：四边形 ADEF 是菱形.

答案： 证明:由折叠可知,
DE=EF,AD=AF,∠DEA=∠FEA.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴DE//AF,
∴∠DEA=∠EAF,
∴∠EAF=∠FEA,
∴AF=EF,
∴AF=AD=DE=EF,
∴四边形 ADEF 是菱形.

1. 如图,△ABC≌△ABD,点 E 在 AB 上(不与点 A,B 重合),连接 CE,DE. 若∠CEB=∠EBD,则四边形 BCED 为菱形.(填写一个满足题意的条件即可)

答案： ∠CEB=∠EBD(答案不唯一)

2. 如图,在菱形 ABCD 中,∠B = 60°,AB = 4,则以 AC 为边的正方形 ACEF 的周长为16.

答案： 16

3. 已知菱形的周长是 52 cm,一条对角线长 24 cm,则它的面积是120$cm^2.$

答案： 120

4. 如图,菱形 ABCD 的两条对角线分别长 2 和 5,P 是对角线 AC 上任意一点(点 P 不与点 A,C 重合),且 PE//BC 交 AB 于点 E,PF//CD 交 AD 于点 F,则阴影部分的面积是2.5.

答案： 2.5

5. 如图,点 E,F 分别是菱形 ABCD 的边 BC,CD 上的点,且∠EAF = ∠D = 60°,∠FAD = 45°,则∠CFE = 45°.

答案： 45°

6. 如图,在菱形 ABCD 中,AC 为对角线,E,F 分别是边 BC,AD 的中点.
(1) 求证：△ABE≌△CDF；
(2) 若∠B = 60°,AB = 4,求线段 AE 的长.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = CD$，$AD = BC$，$\angle B=\angle D$。
又因为$E$，$F$分别是边$BC$，$AD$的中点，所以$BE=\frac{1}{2}BC$，$DF = \frac{1}{2}AD$，则$BE = DF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}AB = CD\\\angle B=\angle D\\BE = DF\end{cases}$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle CDF$。
2. （2）解：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = BC$。
又因为$\angle B = 60^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等边三角形。
因为$E$是$BC$的中点，根据等边三角形三线合一的性质，$AE\perp BC$。
在$Rt\triangle ABE$中，$AB = 4$，$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB = 2$。
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AB$，$a = BE$，$b = AE$），则$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}$。
把$AB = 4$，$BE = 2$代入可得：$AE=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{16 - 4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
综上，（1）已证明$\triangle ABE\cong\triangle CDF$；（2）$AE$的长为$2\sqrt{3}$。

1. 如图,在 Rt△ABC 中,∠B = 90°,AC = 120 cm,∠A = 60°,点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4 cm/s 的速度向点 A 匀速运动,同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2 cm/s 的速度向点 B 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动. 设点 D,E 运动的时间是 t s. 过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,连接 DE,EF. 当四边形 AEFD 是菱形时,t 的值为(A).

A.20
B.18
C.12
D.6

答案： A