《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

一元二次方程是否都可以用因式分解法来解？

答案： 否

探究：
问题 1：能否用因式分解法解下列方程？
(1) $ x^2 - 7x = 0 $； (2) $ x^2 - 4x - 12 = 0 $； (3) $ (2x + 1)^2 + 3(2x + 1) = 0 $。
问题 2：观察以上三个方程,等号的左边和右边有什么特征？
问题 3：用因式分解法解方程 $ x^2 - 4 = 0 $ 和 $ (x + 1)^2 - 25 = 0 $。
归纳总结：当一元二次方程的一边是0,而另一边能分解成两个一次因式的乘积时,才能用因式分解法解。

答案： 问题1:能. 问题2:等号的右边是0,左边能分解成两个一次因式的乘积. 问题3:x₁=2,x₂=-2;x₁=4,x₂=-6. 归纳总结：0;能分解成两个一次因式的乘积

【例 1】解方程：
(1) $ 5x^2 = 4x $； (2) $ x(x - 2) = x - 2 $； (3) $ 4x(2x + 1) = 3(2x + 1) $。

答案： 1. （1）解方程$5x^{2}=4x$：
解：移项得$5x^{2}-4x = 0$。
提取公因式$x$，得$x(5x - 4)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，则$x = 0$或$5x-4 = 0$。
当$5x - 4 = 0$时，$5x=4$，解得$x=\frac{4}{5}$。
所以$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{4}{5}$。
2. （2）解方程$x(x - 2)=x - 2$：
解：移项得$x(x - 2)-(x - 2)=0$。
提取公因式$(x - 2)$，得$(x - 2)(x - 1)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，则$x−2 = 0$或$x - 1 = 0$。
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=1$。
3. （3）解方程$4x(2x + 1)=3(2x + 1)$：
解：移项得$4x(2x + 1)-3(2x + 1)=0$。
提取公因式$(2x + 1)$，得$(2x + 1)(4x - 3)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，则$2x+1 = 0$或$4x - 3 = 0$。
当$2x+1 = 0$时，$2x=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$；当$4x - 3 = 0$时，$4x=3$，解得$x=\frac{3}{4}$。
所以$x_{1}=-\frac{1}{2}$，$x_{2}=\frac{3}{4}$。
综上，（1）$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{4}{5}$；（2）$x_{1}=2$，$x_{2}=1$；（3）$x_{1}=-\frac{1}{2}$，$x_{2}=\frac{3}{4}$。

【例 2】一个数的平方等于这个数的 7 倍,求这个数。
1. 首先设这个数为$x$：
根据题意可列方程$x^{2}=7x$。
移项得$x^{2}-7x = 0$。
提取公因式$x$，根据$ab + ac=a(b + c)$（这里$a = x$，$b=x$，$c=-7$），则$x(x - 7)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x = 0$或$x-7 = 0$。
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=7$。
2. 然后对于方程$x^{2}=ax(a\neq0)$：
移项得$x^{2}-ax = 0$。
提取公因式$x$，得$x(x - a)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=a$。
所以这个数是$0$或$7$；形如“$x^{2}=ax(a\neq0)$”的一元二次方程的解法为提取公因式法，即$x(x - a)=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=a$。

答案： 1. 首先设这个数为$x$：
根据题意可列方程$x^{2}=7x$。
移项得$x^{2}-7x = 0$。
提取公因式$x$，根据$ab + ac=a(b + c)$（这里$a = x$，$b=x$，$c=-7$），则$x(x - 7)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x = 0$或$x-7 = 0$。
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=7$。
2. 然后对于方程$x^{2}=ax(a\neq0)$：
移项得$x^{2}-ax = 0$。
提取公因式$x$，得$x(x - a)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=a$。
所以这个数是$0$或$7$；形如“$x^{2}=ax(a\neq0)$”的一元二次方程的解法为提取公因式法，即$x(x - a)=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=a$。

归纳总结：形如“$ x^2 = ax(a ≠ 0) $”的一元二次方程的解法为______。

答案： 归纳总结：先移项,再用因式分解法求解

1. 方程 $ 5x(x + 3) = 3(x + 3) $ 的解为(D)。
A.$ x_1 = \frac{3}{5}, x_2 = 3 $
B.$ x = \frac{3}{5} $
C.$ x_1 = -\frac{3}{5}, x_2 = -3 $
D.$ x_1 = \frac{3}{5}, x_2 = -3 $

答案： D

2. 方程 $ (x - 1)^2 - 4(x + 2)^2 = 0 $ 的解为(B)。
A.$ x_1 = 1, x_2 = -5 $
B.$ x_1 = -1, x_2 = -5 $
C.$ x_1 = 1, x_2 = 5 $
D.$ x_1 = -1, x_2 = 5 $

答案： B

3. 一元二次方程 $ x^2 + 5x = 0 $ 的较大的一个根设为 $ m $,$ x^2 - 3x + 2 = 0 $ 的较小的一个根设为 $ n $,则 $ m + n $ 的值为(A)。
A.1
B.2
C.-4
D.4

答案： A

4. 方程 $ (2y + 1)^2 + 3(2y + 1) + 2 = 0 $ 的解为y₁=-1,y₂=-$\frac{3}{2}$。

答案： y₁=-1,y₂=-$\frac{3}{2}$

5. 关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + (m + n)x + mn = 0 $ 的解为x₁=-m,x₂=-n。

答案： x₁=-m,x₂=-n