《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

探究一：菱形的判定
如图 1 - 5,已知$\triangle ABC$,按如下步骤作图：
①分别以 $A$,$C$ 为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧,两弧交于 $P$,$Q$ 两点；
②作直线 $PQ$,分别交 $AB$,$AC$ 于 $E$,$D$ 两点,连接 $CE$；
③过点 $C$ 作 $CF // AB$ 交 $PQ$ 于点 $F$,连接 $AF$。
(1)求证：$\triangle AED \cong \triangle CFD$；
(2)求证：四边形 $AECF$ 是菱形。
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答案： 探究一：
证明：
(1)由作图知，PQ为线段AC的垂直平分线。
∴AD=CD。
∵CF//AB，
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED。
在△AED与△CFD中，
∠EAD=∠FCD，
∠AED=∠CFD，
AD=CD，
∴△AED≌△CFD。
(2)
∵△AED≌△CFD，
∴EA=FC。
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC=EA，FC=FA。
∴EC=EA=FC=FA。
∴四边形AECF是菱形。

探究二：矩形的性质
准备一张矩形纸片 $ABCD$,按如图 1 - 6 所示操作：
将$\triangle ABE$ 沿 $BE$ 翻折,使点 $A$ 恰好落在对角线 $BD$ 上的点 $M$ 处；将$\triangle CDF$ 沿 $DF$ 翻折,使点 $C$ 恰好落在对角线 $BD$ 上的点 $N$ 处。
(1)求证：四边形 $BFDE$ 是平行四边形；
(2)若四边形 $BFDE$ 是菱形,$AB = 2$,求菱形 $BFDE$ 的面积。
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答案： 探究二：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，
AB=CD，AB//CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠EBD=∠FDB，
∴EB//DF。
∵ED//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形。
(2)解：
∵四边形BFDE是菱形，
∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=90°。
∴∠ABE=30°。
∵∠A=90°，AB=2，
∴AE=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，BF=BE=2AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
∴菱形BFDE的面积为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×2=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$。

探究三：正方形的性质
如图 1 - 7,四边形 $ABCD$ 是正方形,$BE \perp BF$,$BE = BF$,$EF$ 与 $BC$ 交于点 $G$。
(1)求证：$AE = CF$；
(2)若$\angle ABE = 55^{\circ}$,求$\angle EGC$的度数。
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答案： 探究三：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC。
∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°。
∴∠ABE+∠EBG=90°，
∠CBF+∠EBG=90°。
∴∠ABE=∠CBF。
在△AEB和△CFB中，
AB=BC，
∠ABE=∠CBF，
BE=BF，
∴△AEB≌△CFB。
∴AE=CF。
(2)解：
∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°。
又
∵BE=BF，
∴∠BEF=∠EFB=45°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°。
又
∵∠ABE=55°，
∴∠EBG=90° - 55°=35°。
∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=35°+45°=80°。

探究四：直角三角形斜边上的中线问题
如图 1 - 8,在$Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$D$ 为斜边 $AB$ 的中点,$DE \perp AC$ 于点 $E$。若 $DE = 2$,$CD = 2\sqrt{5}$,求 $BE$ 的长。
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答案： 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$为斜边$AB$中点，所以$CD=\frac{1}{2}AB$，$AB=2CD=4\sqrt{5}$。
因为$DE\perp AC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$DE// BC$，$D$为$AB$中点，故$E$为$AC$中点，$DE$是$\triangle ABC$中位线，$BC=2DE=4$。
在$Rt\triangle ADE$中，$AE=EC$，设$AE=EC=x$，$DE=2$，$AD=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{5}$，由勾股定理得$AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}$，即$x^{2}+2^{2}=(2\sqrt{5})^{2}$，$x^{2}=20 - 4=16$，$x=4$，所以$EC=4$。
在$Rt\triangle BCE$中，$BC=4$，$EC=4$，$BE=\sqrt{BC^{2}+EC^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}$。
答案：$4\sqrt{2}$

 【例】如图 1 - 9,在$\triangle ABC$ 中,$\angle BAC ＞ 90^{\circ}$,$BD$,$CE$ 分别为 $AC$,$AB$ 边上的高,$F$ 为 $BC$ 的中点,连接 $DF$,$EF$。求证：$\angle FED = \angle FDE$。
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答案： 【例】证明：
∵BD，CE分别为AC，AB边上的高，
∴∠BDC=∠BEC=90°。
又
∵F为BC的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$BC。
∴DF=EF，
∴∠FED=∠FDE。