《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 在$□ ABCD$中,增加下列条件中的一个,就能判定它是矩形的是(A).
A.$∠A + ∠C = 180^{\circ}$
B.$AB = BC$
C.$AC⊥BD$
D.$AC = 2AB$

答案： A

2. 下列关于矩形的说法正确的是(B).
A.对角线相等的四边形是矩形
B.矩形的对角线相等且互相平分
C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.矩形的对角线互相垂直且平分

答案： B

3. 如图 1 - 2 - 9,在矩形$ABCD$中,$E为CD$边上一点,沿$AE$折叠,使$D点落在BC边上的F$点处,$G为AE$的中点,连接$DG$,$FG$. 若$∠BAF = 30^{\circ}$,$AB = \sqrt{3}$,则四边形$DEFG$的周长为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

答案： $\frac{8\sqrt{3}}{3}$

如何应用矩形的性质定理和判定定理？

答案： 应用矩形性质定理：已知矩形时，利用其对边平行且相等、四个角为直角、对角线相等等性质解决边、角、对角线关系问题。应用矩形判定定理：1.定义法：证平行四边形且有一个直角；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形，根据已知条件选择判定方法推理。

【例 1】如图 1 - 2 - 10,矩形$ABCD的两条对角线相交于点O$,$OF⊥BC于点F$,$CE⊥BD于点E$. 若$OE = ED$,$OF = 4$,求$∠ADB的度数和BD$的长.

答案： 解：$\because OE=ED,CE\perp BD,$$\therefore OC=CD.$又$\because OC=OD,$$\therefore \triangle OCD$为等边三角形.$\therefore \angle ODC=60^{\circ},\therefore \angle ADB=30^{\circ}.$$\because OF=4,\angle OBC=\angle ADB=30^{\circ},$$\therefore OB=2OF=8.$$\therefore BD=2OB=16.$

【例 2】如图 1 - 2 - 11,折叠矩形纸片$ABCD$,先折出折痕$BD$,再折叠使$AD边与对角线BD$重合,得折痕$DG$. 若$AB = 2$,$BC = 1$,求$AG$的长.

答案： 解:设AG的长为$x$,则$GE=x,DE=1,BE=\sqrt{5}-1,$$GB=2-x.$在$Rt\triangle GEB$中,$(2-x)^{2}=x^{2}+(\sqrt{5}-1)^{2}$,解得$x=$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$$\therefore AG=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$

1. 如图 1 - 2 - 12,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$CD⊥AB于点D$,且$E是AC$的中点. 若$AD = 6$,$DE = 5$,则$BC$的长为$4\sqrt{5}$.

答案： $4\sqrt{5}$