《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

三边成比例的两个三角形相似.

答案： 成比例

1. 如图4-4-19,两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”),理由是三边成比例的两个三角形相似.

答案： 相似;三边成比例的两个三角形相似

2. 如图4-4-20所示的五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格,网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上,那么在图②四幅图中的三角形,与图①中的△ABC相似的个数是(B).

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

如果两个三角形有三边成比例,它们一定相似吗？

答案： 一定相似

探究：三边成比例的两个三角形是否相似
画出△ABC和△A′B′C′,使$\frac{AB}{A'B'}= \frac{AC}{A'C'}= \frac{BC}{B'C'}= k$.
问题1：测量∠ABC,∠ACB,∠BAC,∠A′B′C′,∠A′C′B′,∠B′A′C′的大小,你发现了什么？
问题2：△ABC和△A′B′C′一定相似吗？说说你的理由.
问题3：改变k值的大小,问题1,2的结论还相同吗？
归纳总结：三边成比例的两个三角形相似.

答案： 三边成比例的两个三角形相似

【例1】如图4-4-21,在△ABC中,D在△ABC内,已知$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$. 求证：∠ABD= ∠ACE.

答案： 证明:
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAD=∠CAE.又
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$.
∴△ABD∽△ACE.
∴∠ABD=∠ACE.

【例2】如图4-4-22,在△ABC和△DEC中,AB= 6,AC= 4,BC= 8,CE= 12,CD= 6,DE= 9,CE⊥BC.
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)求AD的长.

答案：
(1)证明:
∵AB=6,AC=4,BC=8,CE=12,CD=6,DE=9,
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{CE}=\frac{2}{3}$.
∴△ABC∽△DEC.
(2)解:
∵CE⊥BC,
∴∠BCE=90°.又
∵△ABC∽△DEC,
∴∠ACB=∠DCE;
∴∠ACD=90°,
∴AD=$\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$.