《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

探究一：
小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：图 3 - 1 - 1 是两个相同的且可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形. 游戏者同时转动两个转盘,如果转盘 A 转出了红色,转盘 B 转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色.
(1)利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果.
(2)游戏者获胜的概率是多少？
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答案： 1. （1）列表法：
| 转盘$A$/转盘$B$ | 黄 | 蓝 | 绿 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,黄) | (红,蓝) | (红,绿) |
| 白 | (白,黄) | (白,蓝) | (白,绿) |
2. （2）解：
由（1）可知，所有可能出现的结果共有$n = 6$种，其中配成紫色（即转盘$A$转出红色且转盘$B$转出蓝色）的结果只有$m = 1$种。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，可得游戏者获胜的概率$P=\frac{1}{6}$。
综上，（1）通过列表表示出了所有结果；（2）游戏者获胜的概率是$\frac{1}{6}$。

探究二：
利用如图 3 - 1 - 2 所示的转盘进行“配紫色”游戏. 小颖制作了下面的树状图,并据此求出游戏者获胜的概率为$\dfrac{1}{2}$.

小亮先把转盘 A 的红色区域等分成 2 份,分别记作“红 1”“红 2”,然后制作了下表,据此求出游戏者获胜的概率也是$\dfrac{1}{2}$.

你认为谁做得对？请说明理由.
归纳总结：你认为利用画树状图或列表的方法求概率时应注意些什么？
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答案： 解:此题中的 A 转盘没有平分,我们必须将 A 转盘平分,才可以考虑列表或者画树状图,小颖忽略了此问题,所以错误. 小颖做得不对,小亮做得对. 一共有 6 种情况,能配成紫色的有 3 种情况,游戏者获胜的概率为$\frac{1}{2}$. 归纳总结:
(1)每个事件出现的可能性相同.
(2)如果事件完成不超过两步用画树状图法或列表法都可以,超过两步,一般用画树状图法.

 【例】某同学报名参加运动会,有以下五个项目可供选择,径赛项目：100 m,200 m,400 m(分别用$A_{1}$,$A_{2}$,$A_{3}$表示)；田赛项目：跳远,跳高(分别用$B_{1}$,$B_{2}$表示).
(1)该同学从五个项目中任选一个,恰好是田赛项目的概率为$\frac{2}{5}$；
(2)该同学从五个项目中任选两个,利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果,并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率.

答案： 1. （1）
已知共有$n = 5$个项目，田赛项目有$m = 2$个（$B_1$，$B_2$）。
根据古典概型概率公式$P=\frac{m}{n}$，可得恰好是田赛项目的概率$P=\frac{2}{5}$。
2. （2）
列表法列举所有可能结果**：
列表如下：
| | $A_1$ | $A_2$ | $A_3$ | $B_1$ | $B_2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $A_1$ | - | $(A_1,A_2)$ | $(A_1,A_3)$ | $(A_1,B_1)$ | $(A_1,B_2)$ |
| $A_2$ | $(A_2,A_1)$ | - | $(A_2,A_3)$ | $(A_2,B_1)$ | $(A_2,B_2)$ |
| $A_3$ | $(A_3,A_1)$ | $(A_3,A_2)$ | - | $(A_3,B_1)$ | $(A_3,B_2)$ |
| $B_1$ | $(B_1,A_1)$ | $(B_1,A_2)$ | $(B_1,A_3)$ | - | $(B_1,B_2)$ |
| $B_2$ | $(B_2,A_1)$ | $(B_2,A_2)$ | $(B_2,A_3)$ | $(B_2,B_1)$ | - |
从表中可以看出，所有可能出现的结果共有$n = C_{5}^2=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5×4}{2×1}=10$种（也可通过数表格中非重复的组合数得到$10$种）。
计算恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率**：
其中恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的结果有$m=(A_1,B_1)$，$(A_1,B_2)$，$(A_2,B_1)$，$(A_2,B_2)$，$(A_3,B_1)$，$(A_3,B_2)$，$(B_1,A_1)$，$(B_1,A_2)$，$(B_1,A_3)$，$(B_2,A_1)$，$(B_2,A_2)$，$(B_2,A_3)$，共$m = 6$种（从列表中数出符合条件的组合数）。
根据古典概型概率公式$P=\frac{m}{n}$，可得恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
综上，答案依次为：（1）$\frac{2}{5}$；（2）$\frac{3}{5}$。

1. 一个保险柜的密码由 6 个数字组成,每个数字都是 0 ~ 9 这 10 个数字中的一个,小丽忘了最后两位数字,那么她一次就能打开保险柜的概率是(D).
A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{10}$
D.$\dfrac{1}{100}$

答案： D