《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

2. 掷两枚质地均匀的骰子,求下列事件的概率：
(1)至少有一枚骰子的点数为 1；
(2)两枚骰子的点数和为奇数；
(3)两枚骰子的点数和大于 9；
(4)第二枚骰子的点数整除第一枚骰子的点数。

答案： $(1)$至少有一枚骰子的点数为$1$
- **解**：
掷两枚骰子，总的基本事件数$n = 6×6=36$（种）。
“至少有一枚骰子的点数为$1$”的对立事件是“两枚骰子的点数都不为$1$”，两枚骰子的点数都不为$1$的情况有$5×5 = 25$种。
设“至少有一枚骰子的点数为$1$”为事件$A$，根据对立事件概率公式$P(A)=1 - P(\overline{A})$，则$P(A)=1-\frac{5×5}{6×6}=1 - \frac{25}{36}=\frac{11}{36}$。
$(2)$两枚骰子的点数和为奇数
- **解**：
要使两枚骰子的点数和为奇数，需一枚骰子点数为奇数，一枚骰子点数为偶数。
第一枚骰子为奇数（$1$，$3$，$5$，共$3$种情况），第二枚骰子为偶数（$2$，$4$，$6$，共$3$种情况），有$3×3 = 9$种情况；
第一枚骰子为偶数（$2$，$4$，$6$，共$3$种情况），第二枚骰子为奇数（$1$，$3$，$5$，共$3$种情况），有$3×3 = 9$种情况。
设“两枚骰子的点数和为奇数”为事件$B$，则$P(B)=\frac{3×3 + 3×3}{6×6}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$。
$(3)$两枚骰子的点数和大于$9$
- **解**：
两枚骰子点数和大于$9$的情况有$(4,6)$，$(5,5)$，$(5,6)$，$(6,4)$，$(6,5)$，$(6,6)$，共$6$种。
设“两枚骰子的点数和大于$9$”为事件$C$，则$P(C)=\frac{6}{6×6}=\frac{1}{6}$。
$(4)$第二枚骰子的点数整除第一枚骰子的点数
- **解**：
当第一枚骰子取$1$时，第二枚骰子取$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，共$6$种情况；
当第一枚骰子取$2$时，第二枚骰子取$1$，$2$，$4$，$6$，共$4$种情况；
当第一枚骰子取$3$时，第二枚骰子取$1$，$3$，共$2$种情况；
当第一枚骰子取$4$时，第二枚骰子取$1$，$2$，$4$，共$3$种情况；
当第一枚骰子取$5$时，第二枚骰子取$1$，$5$，共$2$种情况；
当第一枚骰子取$6$时，第二枚骰子取$1$，$2$，$3$，$6$，共$4$种情况。
所以满足条件的情况共有$6 + 4+2 + 3+2 + 4=21$种。
设“第二枚骰子的点数整除第一枚骰子的点数”为事件$D$，则$P(D)=\frac{21}{6×6}=\frac{7}{12}$。
综上，答案依次为$\boldsymbol{\frac{11}{36}}$；$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；$\boldsymbol{\frac{1}{6}}$；$\boldsymbol{\frac{7}{12}}$。

1. 有三张除画面不同外其他均相同的画片,从每一张中间剪开,分成上下两部分。若剪开后,6 张画片放在一个盒子里,摇匀后,随机地取出两张,求这两张恰好能拼出原来一张画片的概率。

答案： $\frac{1}{5}$

2. 甲同学口袋中有三张相同的卡片,分别写着数字 1,1,2,乙同学口袋中也有三张相同的卡片,分别写着数字 1,2,9,两人各自从自己的口袋中随机摸出一张卡片。若两人摸出的卡片上的数字之和为偶数则甲胜,否则乙胜。求甲胜的概率。

答案： $\frac{5}{9}$

3. 有四张相同的纸牌,其正面分别画有四个不同的几何图形(如图),小华将这四张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸出一张。

(1)用树状图(或表格)表示两次摸牌所有可能出现的结果(四张纸牌可用 A,B,C,D 表示)；
(2)求摸出的两张纸牌正面画的图形都是中心对称图形的概率。

答案： 1. （1）用表格表示两次摸牌所有可能出现的结果：
|第一次摸牌\第二次摸牌|A|B|C|D|
|---|---|---|---|---|
|A|(A,A)|(A,B)|(A,C)|(A,D)|
|B|(B,A)|(B,B)|(B,C)|(B,D)|
|C|(C,A)|(C,B)|(C,C)|(C,D)|
|D|(D,A)|(D,B)|(D,C)|(D,D)|
2. （2）
首先，判断中心对称图形：
根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转$180^{\circ}$，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形），可知圆（B）和平行四边形（C）是中心对称图形。
然后，计算概率：
从表格中可知，所有可能的结果数$n = 16$（因为第一次有$4$种摸牌情况，第二次也有$4$种摸牌情况，根据分步乘法计数原理$N = 4×4=16$）。
摸出的两张纸牌正面画的图形都是中心对称图形的情况有$(B,B)$、$(B,C)$、$(C,B)$、$(C,C)$，共$m = 4$种。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，可得$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
综上，（1）用表格表示如上述；（2）摸出的两张纸牌正面画的图形都是中心对称图形的概率为$\frac{1}{4}$。