《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

2. 如图4-4-1,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且DE//BC,△ADE和△ABC相似吗？为什么？

答案： 解:相似.理由如下:
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.

1. 判定两个三角形相似至少需要几个条件？

答案： 2个

2. 如果两个三角形只有一个角相等,它们一定相似吗？

答案： 不一定相似。
反例：在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°；在△DEF中，∠D=30°，∠E=40°，∠F=110°。
两三角形有一个角（∠A=∠D=30°）相等，但对应角不都相等，不相似。
结论：两个三角形只有一个角相等，不一定相似。

3. 如果两个三角形有两个角分别相等,它们一定相似吗？

答案： 设两个三角形分别为$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$，其中$\angle A = \angle A'$，$\angle B = \angle B'$。
根据三角形内角和为$180^\circ$的性质，有：
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$。
$\angle C' = 180^\circ - \angle A' - \angle B'$。
由于$\angle A = \angle A'$和$\angle B = \angle B'$，代入上述公式可得：
$\angle C = \angle C'$。
根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形相似。
因此，$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$。
所以，如果两个三角形有两个角分别相等，它们一定相似。

探究一：只有一个角相等的两个三角形是否相似
画出△ABC和△A'B'C',使∠ABC= ∠A'B'C'.
问题1：测量AB,AC,BC,A'B',A'C',B'C'的长,并求$\frac{AB}{A'B'}$,$\frac{AC}{A'C'}$,$\frac{BC}{B'C'}$的值,它们相等吗？
问题2：测量∠ACB,∠BAC,∠A'C'B',∠B'A'C'的大小,你发现了什么？
问题3：△ABC和△A'B'C'一定相似吗？说说你的理由.
归纳总结：只有一个角相等的两个三角形不一定相似.

答案： 答题卡填入如下：
探究一：
1. 通过测量得到：
假设 $AB = 3$, $AC = 4$, $BC = 5$;
$A'B' = 6$, $A'C' = 8$, $B'C' = 10$。
计算比值：
$\frac{AB}{A'B'} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，
$\frac{AC}{A'C'} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$，
$\frac{BC}{B'C'} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$。
比值相等。
2. 通过测量得到：
假设 $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle BAC = 36.87^\circ$,
$\angle A'C'B' = 90^\circ$, $\angle B'A'C' = 36.87^\circ$。
发现：$\angle ACB = \angle A'C'B'$, $\angle BAC = \angle B'A'C'$。
3. $\bigtriangleup ABC$ 和 $\bigtriangleup A'B'C'$ 不一定相似。
理由：只有一个角相等，不能满足相似三角形的判定条件（需要至少两组角分别相等，或者两组对应边的比相等且夹角相等）。
归纳总结：只有一个角相等的两个三角形不一定相似。

探究二：两角分别相等的两个三角形是否相似
画出△ABC和△A'B'C',使∠A= ∠A',∠B= ∠B'.
问题1：测量∠C,∠C'的大小,它们相等吗？
通过测量，得到∠C = ∠C'。
问题2：测量AB,AC,BC,A'B',A'C',B'C'的长,并求$\frac{AB}{A'B'}$,$\frac{AC}{A'C'}$,$\frac{BC}{B'C'}$的值,它们相等吗？
测量得：AB, AC, BC, A'B', A'C', B'C' 的长度。
计算比值：
$\frac{AB}{A'B'} = k_1$
$\frac{AC}{A'C'} = k_1$
$\frac{BC}{B'C'} = k_1$
其中 $k_1$ 为某一固定正实数，三者相等。
问题3：△ABC和△A'B'C'一定相似吗？说说你的理由.
△ABC 和 △A'B'C' 一定相似。
理由：根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
归纳总结：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。.

答案： 答题卡作答：
问题1：
通过测量，得到∠C = ∠C'。
问题2：
测量得：AB, AC, BC, A'B', A'C', B'C' 的长度。
计算比值：
$\frac{AB}{A'B'} = k_1$
$\frac{AC}{A'C'} = k_1$
$\frac{BC}{B'C'} = k_1$
其中 $k_1$ 为某一固定正实数，三者相等。
问题3：
△ABC 和 △A'B'C' 一定相似。
理由：根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
归纳总结：
如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

【例1】如图4-4-2,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,DE//BC.
(1)图中有哪些相等的角？
(2)找出图中的相似三角形,并说明理由.
(3)写出三组成比例的线段.
思考：$\frac{BD}{AD}= \frac{CE}{AE}$吗？

答案： 1. （1）
因为$DE// BC$，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等。
所以相等的角有：$\angle ADE=\angle B$，$\angle AED = \angle C$。
2. （2）
解：$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
理由：在$\triangle ADE$和$\triangle ABC$中，$\angle A=\angle A$（公共角），$\angle ADE=\angle B$（已证$DE// BC$，同位角相等）。
根据两角分别相等的两个三角形相似，所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
3. （3）
因为$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，根据相似三角形对应边成比例。
所以$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$。
4. 思考：
解：因为$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，变形可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，进一步变形$\frac{AB - AD}{AD}=\frac{AC - AE}{AE}$。
因为$AB−AD = BD$，$AC - AE=CE$，所以$\frac{BD}{AD}=\frac{CE}{AE}$。
综上，（1）$\angle ADE=\angle B$，$\angle AED=\angle C$；（2）$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，理由见上述；（3）$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$；思考：$\frac{BD}{AD}=\frac{CE}{AE}$。