《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的两根之和与它的系数有什么关系? 两根之积呢?

答案： $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a},x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}$.

1. 方程 $x^{2}-4x - 1 = 0$ 的两根之和是4,两根之积是-1.

答案： 4；-1

2. 方程 $t(t + 3) = 0$ 的两根之和是-3,两根之积是0.

答案： -3；0

3. 若方程 $x^{2}+px + 2 = 0$ 的一个根为 2,则它的另一个根为1, $p= $-3.

答案： 1；-3

一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的两根都有 $x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a},x_{1}x_{2}= \frac{c}{a}$ 的关系吗?

答案： 当一元二次方程有实数根时，两根满足$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a},x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}$

探究:
问题 1:完成下列表格.

上表中的方程有什么特点? 你发现了什么规律?
问题 2:完成下列表格.

上面发现的规律在这里成立吗? 请完善规律.
归纳总结:设一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的两根为 $x_{1},x_{2}$,用式子表示你发现的规律, $x_{1}+x_{2}=$$-\dfrac{b}{a}$, $x_{1}x_{2}=$$\dfrac{c}{a}$.
应用探究:
【例】根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根和与两根积:
(1)$x^{2}-3x + 4 = 0$; (2)$2x^{2}+3x - 5 = 0$.
思考:第(1)题中一元二次方程根的情况是怎样的? 能否直接用根与系数的关系求两根和与两根积?
归纳总结:一元二次方程根与系数的关系应用条件为一元二次方程有实数根.

答案： 探究:
问题1:
方 程 $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}+x_{2}$ $x_{1}x_{2}$
$x^{2}-5x+6=0$ 2 3 5 6
$x^{2}+3x-10=0$ -5 2 -3 -10
上表中的方程的二次项系数为1,发现$x_{1}+x_{2}=-b,x_{1}x_{2}=c$.
问题2:
方 程 $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}+x_{2}$ $x_{1}x_{2}$
$2x^{2}-3x-2=0$ 2 $-\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{3}{2}$ -1
$3x^{2}-4x+1=0$ $\dfrac{1}{3}$ 1 $\dfrac{4}{3}$ $\dfrac{1}{3}$
上面发现的规律在这里不成立,$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a},x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}$.
归纳总结:$-\dfrac{b}{a};\dfrac{c}{a}$
应用探究:
【例】解：
(1)没有实数根,不能用根与系数的关系求解.
(2)$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{3}{2},x_{1}x_{2}=-\dfrac{5}{2}$.
归纳总结:一元二次方程有实数根