《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

3. 如图 4 - 6 - 1,小东设计了两个直角,来测量河宽 DE,他量得 AD = 2 m,BD = 3 m,CE = 9 m,则河宽 DE 为4 m.

答案： 4 m

怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆(或高楼或路灯杆或树或烟囱等)的高度?

答案： 方法一：利用阳光下的影子
测量工具：卷尺、标杆（或测人高）
测量数据：人的身高$h$，人的影长$l$，旗杆的影长$L$
相似依据：同一时刻太阳光线平行，人与旗杆均垂直地面，得$\triangle ABC \sim \triangle DEF$（$AA$，直角及同位角相等）
比例式：$\frac{h}{H} = \frac{l}{L}$
结论：旗杆高度$H = \frac{hL}{l}$
方法二：利用标杆
测量工具：卷尺、标杆（高度$m$）
测量数据：人眼高度$h$（眼睛到地面距离），人到标杆距离$a$，标杆到旗杆距离$b$，标杆高度$m$
相似依据：过眼睛作水平线交标杆于$G$、旗杆于$H$，得$\triangle EFG \sim \triangle EKH$（$AA$，视线平行得同位角相等）
比例式：$\frac{m - h}{H - h} = \frac{a}{a + b}$
结论：旗杆高度$H = h + \frac{(m - h)(a + b)}{a}$
方法三：利用镜子反射
测量工具：卷尺、镜子
测量数据：人的身高$h$，人到镜子距离$l$，旗杆到镜子距离$L$
相似依据：反射角等于入射角，人与旗杆均垂直地面，得$\triangle ABC \sim \triangle DEF$（$AA$，直角及反射角等于入射角）
比例式：$\frac{h}{H} = \frac{l}{L}$
结论：旗杆高度$H = \frac{hL}{l}$

探究一：利用阳光下的影子测量旗杆的高度

操作方法：选一名同学直立于旗杆影子的顶端处,其他同学测出该同学的影长和同一时刻旗杆的影长.
提示：把太阳的光线看成是平行的.
问题 1：如何证明△ABE∽△CDB?
∵AE//CD（太阳光线平行），∴∠AEB=∠CDB（同位角相等），又∠ABE=∠CDB=90°，∴△ABE∽△CDB（AA）。
问题 2：由△ABE∽△CDB 可以得到的比例式是什么?
AB/CD = EB/DB
问题 3：由比例式如何求出旗杆的高度?
设AB=h（人高），EB=l（人影长），DB=L（旗杆影长），则h/CD=l/L，∴CD=hL/l
归纳总结：只要测量出人的影长l,旗杆的影长L,再知道人的身高h,就可以求出旗杆H的高度了.(用字母表示)

探究二：利用标杆测量旗杆的高度

操作方法：选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆. 观测者适当调整自己所处的位置,使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上,这时其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底端的距离,以及观测者的脚到标杆底端的距离,然后测出标杆的高,即可求出旗杆的高度.
问题 1：如何证明△AME∽△ANC?
∵AM⊥EM，AN⊥CN（水平视线与标杆、旗杆垂直），∴∠AME=∠ANC=90°，又∠MAE=∠NAC（公共角），∴△AME∽△ANC（AA）。
问题 2：由△AME∽△ANC 可以得到的比例式是什么?
AM/AN = EM/CN
问题 3：由比例式如何求出旗杆的高度?
设AM=m（观测者到标杆距离），AN=n（观测者到旗杆距离），EM=a（标杆高-眼高），CN=H - b（旗杆高-眼高，b为眼高），则m/n=a/(H - b)，∴H=b + an/m

探究三：利用镜子的反射测量旗杆的高度
操作方法：选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回移动,直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合. 测出此时观测者的脚与镜子的距离,旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度.
提示：入射角= 反射角.
问题 1：需要证明哪两个三角形相似?
△ABE∽△CDE
问题 2：由两个三角形相似能得到什么比例式?
AB/CD = BE/DE
问题 3：由比例式如何求出旗杆的高度?
设AB=h（人高），BE=m（观测者到镜子距离），DE=n（旗杆到镜子距离），则h/CD=m/n，∴CD=hn/m

归纳总结：
1. 运用方法 1 时可以把太阳光近似地看成平行光线,计算时还要用到观测者的身高.
2. 运用方法 2 时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上,标杆与地面要垂直,在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.
3. 运用方法 3 时应注意光线的入射角等于反射角.

答案： 探究一
问题1：
∵AE//CD（太阳光线平行），
∴∠AEB=∠CDB（同位角相等），又∠ABE=∠CDB=90°，
∴△ABE∽△CDB（AA）。
问题2：
AB/CD = EB/DB
问题3：
设AB=h（人高），EB=l（人影长），DB=L（旗杆影长），则h/CD=l/L，
∴CD=hL/l
归纳总结：l，L，h，H
@@探究二
问题1：
∵AM⊥EM，AN⊥CN（水平视线与标杆、旗杆垂直），
∴∠AME=∠ANC=90°，又∠MAE=∠NAC（公共角），
∴△AME∽△ANC（AA）。
问题2：
AM/AN = EM/CN
问题3：
设AM=m（观测者到标杆距离），AN=n（观测者到旗杆距离），EM=a（标杆高-眼高），CN=H - b（旗杆高-眼高，b为眼高），则m/n=a/(H - b)，
∴H=b + an/m
@@探究三
问题1：
△ABE∽△CDE
问题2：
AB/CD = BE/DE
问题3：
设AB=h（人高），BE=m（观测者到镜子距离），DE=n（旗杆到镜子距离），则h/CD=m/n，
∴CD=hn/m
归纳总结
1. 平行光线，身高
2. 在一条直线上，垂直
3. 入射角，反射角