《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

13. 如图是“小孔成像”,蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是$1:2$,若烛焰$AC的高是4\ cm$,则实像$DB$的高是8$cm$.

答案： 解：设蜡烛到挡板距离为$x$，则挡板到屏幕距离为$2x$。
由小孔成像原理可知，$\triangle AOC \sim \triangle DOB$（$O$为小孔）。
相似比为蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比，即$1:2$。
因为相似三角形对应高的比等于相似比，所以$\frac{AC}{DB}=\frac{1}{2}$。
已知$AC = 4\ cm$，则$\frac{4}{DB}=\frac{1}{2}$，解得$DB = 8\ cm$。
$8$

14. 小明用这样的方法来测量某建筑物的高度. 如图,在地面上放一面镜子,调整位置,直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端. 如果此时小明与镜子的距离是$2\ m$,镜子与建筑物的距离是$20\ m$,他的眼睛距地面$1.5\ m$,那么该建筑物的高是15.

答案： 解：设建筑物的高度为$h$米。
由光的反射定律知，入射角等于反射角，故小明、镜子与地面形成的直角三角形和建筑物、镜子与地面形成的直角三角形相似。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{1.5}{h}=\frac{2}{20}$
解得：$h = \frac{1.5×20}{2} = 15$
答：该建筑物的高是$15$米。

15. 如图,小王为测得学校操场上小树$CD$的高,他站在教室里的$A$点处,从教室的窗口望出去,恰好能看见小树的整个树冠$HD$. 经测量,窗口高$EF = 1.4\ m$,树干高$CH= 1.2\ m$,$A$,$C$两点在同一水平线上,$A点距墙根G点1.6\ m$,$C点距墙根G点4.8\ m$,且$A$,$G$,$C$三点在同一直线上. 请根据上面的信息,帮小王计算出小树$CD$的高.

答案： 解：由题意知，AG=1.6m，GC=4.8m，AC=AG+GC=1.6+4.8=6.4m，EF=1.4m，CH=1.2m。
因为A，G，C三点共线，且A，C在同一水平线上，所以BG=AG=1.6m（窗口底部B到A的水平距离），BH的水平距离为AC=6.4m。
由于EF为窗口高，即BE=EF=1.4m（假设窗口底部为E，顶部为F，BF为视线，此处根据图形及相似三角形判定，△BEF∽△BHD）。
△BEF∽△BHD（两角对应相等，均为直角三角形且共用∠HBD），则对应边成比例：$\frac{BE}{BH}=\frac{EF}{HD}$。
其中BE=AG=1.6m，BH=AC=6.4m，EF=1.4m，代入得：$\frac{1.6}{6.4}=\frac{1.4}{HD}$，解得HD=5.6m。
小树CD=CH+HD=1.2+5.6=6.8m。
答：小树CD的高为6.8m。

16. 已知关于原点位似的两个图形中,一组对应点的坐标为$(2,4)和(-1,x)$,则$x$的值为 (A)
A.$-2$
B.$2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： A

17. 如图,$\triangle ABC与\triangle DEF是以点O$为位似中心的位似图形,若$\triangle ABC与\triangle DEF的面积比为4:25$,则$OA:AD= $2:3.

答案： 解：
∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵△ABC与△DEF的面积比为4:25，
∴△ABC与△DEF的相似比为2:5，
∴OA:OD=2:5，
设OA=2k，OD=5k，
则AD=OD-OA=5k-2k=3k，
∴OA:AD=2k:3k=2:3.
故答案为：2:3.

18. 如图,以某点为位似中心,将$\triangle AOB进行位似变换得到\triangle CDE$,记$\triangle AOB与\triangle CDE对应边的比为k$,求位似中心的坐标和$k$的值.

答案： 解：由图可知，点A(6,0)，O(0,0)，B(0,8)，C(4,1)，D(1,1)，E(1,5)。
连接AD、BE，两直线交于点P。
设直线AD的解析式为y=mx+n，将A(6,0)，D(1,1)代入，得：
$\begin{cases}6m+n=0 \\m+n=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-\frac{1}{5} \\n=\frac{6}{5}\end{cases}$
直线AD：$y=-\frac{1}{5}x+\frac{6}{5}$。
设直线BE的解析式为y=px+q，将B(0,8)，E(1,5)代入，得：
$\begin{cases}q=8 \\p+q=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}p=-3 \\q=8\end{cases}$
直线BE：$y=-3x+8$。
联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{5}x+\frac{6}{5} \\ y=-3x+8\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2 \\ y=2\end{cases}$，位似中心坐标为(2,2)。
OA=6，CD=4-1=3，k=$\frac{OA}{CD}=\frac{6}{3}=2$。
答：位似中心坐标为(2,2)，k的值为2。

19. 如图,四边形$OABC$是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,$O$为原点,点$A在x$轴的正半轴上,点$C在y$轴的正半轴上,$OA = 5$,$OC = 4$.
(1)如图1,在$AB上取一点D$,将纸片沿$OD$翻折,使点$A落在BC边上的点E$处,求$D$,$E$两点的坐标.
(2)如图2,若$OE上有一动点P$(不与点$O$,$E$重合)从点$O$出发,以每秒1个单位长度的速度沿$OE的方向向点E$匀速运动,设运动时间为$t秒(0 ＜ t ＜ 5)$,过点$P作PM\perp OE$,交$OD于点M$,连接$ME$,直接写出当$t$为何值时,以点$P$,$M$,$E为顶点的三角形与\triangle ODA$相似.

答案：
(1)解：
∵四边形OABC是矩形，OA=5，OC=4，
∴A(5,0)，C(0,4)，B(5,4)，BC=OA=5，AB=OC=4。
由翻折性质得：OE=OA=5，DE=DA。
设E(x,4)，在Rt△OCE中，OC=4，OE=5，
∴CE=$\sqrt{OE^2-OC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴x=3，即E(3,4)。
设D(5,y)，则AD=y，DE=AD=y，BD=AB-AD=4-y，
BE=BC-CE=5-3=2。
在Rt△BDE中，BD²+BE²=DE²，
即(4-y)²+2²=y²，解得y=$\frac{5}{2}$，
∴D(5,$\frac{5}{2}$)。
(2)t=$\frac{25}{9}$或t=$\frac{100}{41}$