《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

10. 中考热点·网格题型 如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,△ABC的顶点均在格点上,则△ABC的面积为5,阴影部分的面积为5.

答案： 1. 首先求$\triangle ABC$的面积：
利用割补法，$S_{\triangle ABC}=4×4 - \frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×4×3$
分别计算各项：
$4×4 = 16$；
$\frac{1}{2}×4×2=\frac{1}{2}×8 = 4$；
$\frac{1}{2}×2×1=\frac{1}{2}×2 = 1$；
$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×12 = 6$。
则$S_{\triangle ABC}=16-(4 + 1+6)=16 - 11=5$。
2. 然后求阴影部分的面积：
观察图形可知，阴影部分是$\triangle ABC$经过平移后得到的图形，根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小，所以阴影部分面积等于$\triangle ABC$的面积。
所以$\triangle ABC$的面积为$5$，阴影部分的面积为$5$。
故答案依次为：$5$；$5$。

11. 如图,等边△ABC的边长为3,点D在边AC上,线段PQ(P在Q的下方)在边BA上运动,满足：$PQ= \frac{1}{2},$△AQD∽△BCP.
(1)若CP⊥AB,则\frac{S_{△AQD}}{S_{△BCP}}=$\frac{1}{9}$；
(2)在运动过程中,AD的最大值是$\frac{25}{48}$.

答案：
(1)$\frac{1}{9}$；
(2)$\frac{25}{48}$

12. 如图,在△ABC中,AB= 5,BC= 3,AC= 4,动点E(与点A,C不重合)在AC边上,EF//AB交BC于点F.
(1)当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时,求CE的长.
(2)当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时,求CE的长.

答案：
(1) 解：
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC²+BC²=4²+3²=25=AB²，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°。
∵EF//AB，
∴△ECF∽△ACB。
设CE=4k，则CF=3k，AC=4，BC=3。
∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等，
∴S△ECF/S△ACB=1/2。
又
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴(CE/CA)²=1/2，即(4k/4)²=1/2，k²=1/2，k=√2/2（k＞0）。
∴CE=4k=4×√2/2=2√2。
(2) 解：设CE=x，
∵△ECF∽△ACB，
∴CF/BC=CE/AC，即CF=3x/4。
△ECF的周长为CE+CF+EF=x+3x/4+EF，EF=5x/4（相似比为x/4，AB=5）。
四边形EABF的周长为EA+AB+BF+EF=(4-x)+5+(3-3x/4)+EF=12-7x/4+EF。
∵△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，
∴x+3x/4+5x/4=12-7x/4+5x/4，解得x=24/7。
∴CE=24/7。

13. 已知：如图,在平行四边形ABCD中,过点C分别作AD,AB的垂线,交边AD,AB的延长线于点E,F.
(1)求证：AD·DE= AB·BF.
(2)连接AC,如果$\frac{CF}{DE}= \frac{AC}{CD},$求证：$\frac{AC^2}{BC^2}= \frac{AF}{BF}.$

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠EDC=∠FBC（等角的补角相等）。
∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴∠CED=∠CFB=90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{DE}{BF}$，
∵CD=AB，CB=AD，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{DE}{BF}$，
∴AD·DE=AB·BF。
(2)证明：
由
(1)得$\frac{CD}{BC}=\frac{DE}{BF}$，即$\frac{DE}{BF}=\frac{CD}{BC}$，
∵$\frac{CF}{DE}=\frac{AC}{CD}$，
∴$\frac{CF}{DE}·\frac{DE}{BF}=\frac{AC}{CD}·\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{AC}{BC}$，
∵∠CFB=∠AEC=90°，∠EAC=∠CAF，
∴△AEC∽△AFC，
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{AE}{AC}$，即$AC^2=AE·AF$，
由
(1)AD·DE=AB·BF，AB=CD，AD=BC，
设BC=AD=a，BF=x，AF=AB+BF=CD+BF，
由$\frac{CF}{BF}=\frac{AC}{BC}$设AC=k·BC，CF=k·BF，
在Rt△CFB中，$BC^2=CF^2+BF^2$（此步可省略，直接用相似比），
∵△AEC∽△CFB，$\frac{AE}{CF}=\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{CF}{AD}$，$\frac{AC}{AF}=\frac{CF}{AD}$，
∴$AC·AD=AF·CF$，
又$AC^2=AE·AF$，$\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AF}$，$\frac{AE}{CF}=\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AE·AF}{BC^2}=\frac{AF·CF·BC}{BC·CF·BF}=\frac{AF}{BF}$，
即$\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AF}{BF}$。