《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 在下列函数中,y是x的反比例函数的是(C)
A.$y= 1-\frac{1}{x}$
B.$y= \frac{1}{x^{2}}$
C.$y= -\frac{2}{x}$
D.$y= \frac{3}{x-1}$

答案： C

2. 函数$y= \frac{m-2}{x^{|m|-1}}$是y关于x的反比例函数,那么m的值是-2.

答案： D（假设选项D代表-2，由于选项未给出，这里根据常规习惯假设D为正确答案的代表）

3. 关于反比例函数$y= -\frac{2025}{x}$,下列说法不正确的是(D)
A.图象关于原点对称
B.它的图象在第二、四象限
C.当$x＜0$时,y随x的增大而增大
D.当$x＞5$时,$y＜-405$

答案： D

4. 在平面直角坐标系xOy中,若反比例函数$y= \frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点A(1,2)和点B(-1,n),则n的值为-2.

答案： 解：因为反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点A(1,2)，所以将点A(1,2)代入函数可得$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，则反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$。
又因为点B(-1,n)在该反比例函数图象上，所以将点B(-1,n)代入$y=\frac{2}{x}$，可得$n=\frac{2}{-1}=-2$。
故n的值为-2。

5. 若点P(-3,m)和点Q(-1,n)都在反比例函数$y= \frac{k-5}{x}$的图象上,且$m＞n$,则k的取值范围是$k＞5$.

答案： $k＞5$

6. 如图,点A是反比例函数$y= -\frac{k}{x}$的图象上的一点,过点A作$□ ABCD$,使点C在x轴上,点D在y轴上,若$□ ABCD$面积为6,则k的值是(C)

A.1

B.3
C.6
D.-6

答案： C

7. 如图,在矩形OABC和正方形CDEF中,点A在y轴正半轴上,点C,F均在x轴正半轴上,点D在边BC上,$BC= 2CD$,$AB= 3$. 若点B,E在同一个反比例函数的图象上,则这个反比例函数的表达式是$ y = \frac{18}{x} $.

答案： $ y = \frac{18}{x} $

8. 在平面直角坐标系中,将一块直角三角板如图放置,直角顶点与原点O重合,顶点A,B恰好分别落在函数$y= -\frac{1}{x}(x＜0)$,$y= \frac{4}{x}(x＞0)$的图象上,则$\frac{OA}{AB}= $______$\frac{\sqrt{5}}{5}$.

答案： 解：设点A坐标为$(a,-\frac{1}{a})$，其中$a＜0$，点B坐标为$(b,\frac{4}{b})$，其中$b＞0$。
因为$\angle AOB = 90°$，所以$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$，即$ab + (-\frac{1}{a}) \cdot \frac{4}{b} = 0$，化简得$ab - \frac{4}{ab} = 0$，设$k = ab$，则$k - \frac{4}{k} = 0$，解得$k^2 = 4$，因为$a＜0$，$b＞0$，所以$k = ab ＜ 0$，故$k = -2$，即$ab = -2$。
$OA^2 = a^2 + (-\frac{1}{a})^2 = a^2 + \frac{1}{a^2}$，$OB^2 = b^2 + (\frac{4}{b})^2 = b^2 + \frac{16}{b^2}$。
由$ab = -2$得$b = -\frac{2}{a}$，代入$OB^2$得：$OB^2 = (-\frac{2}{a})^2 + \frac{16}{(-\frac{2}{a})^2} = \frac{4}{a^2} + 4a^2 = 4(a^2 + \frac{1}{a^2}) = 4OA^2$，所以$OB = 2OA$。
在$Rt\triangle AOB$中，$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{OA^2 + (2OA)^2} = \sqrt{5}OA$，故$\frac{OA}{AB} = \frac{OA}{\sqrt{5}OA} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{\sqrt{5}}{5}$

9. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y= kx(k＞0)与双曲线y= \frac{2}{x}$交于A,B两点,$AC⊥x$轴于点C,连接BC,交y轴于点D,结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中点；③在$y= \frac{2}{x}的图象上任取点P(x_{1},y_{1})和点Q(x_{2},y_{2})$,如果$y_{1}＞y_{2}$,那么$x_{1}＞x_{2}$；④$S_{\triangle BOD}= \frac{1}{2}$. 其中正确结论的个数是(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 解：①联立$\begin{cases}y=kx \\ y=\frac{2}{x}\end{cases}$，得$kx=\frac{2}{x}$，$x^2=\frac{2}{k}$，$x=\pm\sqrt{\frac{2}{k}}$。
设$A\left(\sqrt{\frac{2}{k}},k\sqrt{\frac{2}{k}}\right)$，则$B\left(-\sqrt{\frac{2}{k}},-k\sqrt{\frac{2}{k}}\right)$，A与B关于原点对称，①正确。
②$AC\perp x$轴于C，$C\left(\sqrt{\frac{2}{k}},0\right)$，B$\left(-\sqrt{\frac{2}{k}},-k\sqrt{\frac{2}{k}}\right)$。
设直线BC解析式：$y=mx+n$，代入B、C：
$\begin{cases}m\sqrt{\frac{2}{k}}+n=0 \\ -m\sqrt{\frac{2}{k}}+n=-k\sqrt{\frac{2}{k}}\end{cases}$，解得$m=\frac{k}{2}$，$n=-\frac{k}{2}\sqrt{\frac{2}{k}}$。
令$x=0$，$y=-\frac{k}{2}\sqrt{\frac{2}{k}}=-\frac{\sqrt{2k}}{2}$，D$\left(0,-\frac{\sqrt{2k}}{2}\right)$。
BC中点坐标：$\left(\frac{\sqrt{\frac{2}{k}}-\sqrt{\frac{2}{k}}}{2},\frac{0 - k\sqrt{\frac{2}{k}}}{2}\right)=\left(0,-\frac{k\sqrt{\frac{2}{k}}}{2}\right)=\left(0,-\frac{\sqrt{2k}}{2}\right)$，与D重合，②正确。
③反例：P$(1,2)$，Q$(2,1)$，$y_1=2＞y_2=1$，但$x_1=1＜x_2=2$，③错误。
④$S_{\triangle BOD}=\frac{1}{2}×|OD|×|x_B|=\frac{1}{2}×\left|-\frac{\sqrt{2k}}{2}\right|×\left|-\sqrt{\frac{2}{k}}\right|=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2k}}{2}×\sqrt{\frac{2}{k}}=\frac{1}{2}×\frac{2}{2}=\frac{1}{2}$，④正确。
综上，正确结论3个，选C。

10. 已知直线$y= kx(k≠0)与反比例函数y= -\frac{5}{x}的图象交于A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$两点,则$2x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}$的值是15.

答案： 15

11. 如图,直线$y= -\frac{4}{3}x+4与反比例函数y= \frac{k}{x}(x＞0)$的图象只有一个交点A.
(1)$k=$3.
(2)在函数$y= \frac{k}{x}$的图象上取异于点A的一点B,作$BC⊥x$轴于点C,连接OB,交直线于点F. 设直线与y轴交于点E,若$\triangle EOF的面积是\triangle BOC$面积的3倍,求点F的坐标.

(2)点F的坐标为$(\frac{9}{4},1)$

答案：
(1)$3$；
(2)$(\frac{9}{4},1)$