《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

3. 如图,在等边三角形 ABC 中,D 为 BC 边上一点,E 为 AC 边上一点,∠ADE= 60°.
(1)求证:△ABD∽△DCE.
(2)若 BD= 4,CE= $\frac{4}{3}$,求△ABC 的边长.

答案：
(1) 证明见上述解析；
(2) 6

4. 如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,∠B= ∠C= 60°,AD= 3,BC= 7,P 为 BC 边上的一点(不与 B,C 重合),过点 P 作∠APE= ∠B,PE 交 CD 于点 E.若 CE= 3,求 PE 的长.

答案： 解：过点A作AF⊥BC于F，过点D作DG⊥BC于G，
∵AD//BC，∠B=∠C=60°，AD=3，BC=7，
∴FG=AD=3，BF+GC=7-3=4，
设BF=x，则GC=4-x，
在Rt△ABF中，∠BAF=30°，AB=2x，AF=√3x，
在Rt△DGC中，∠CDG=30°，DC=2(4-x)，DG=√3(4-x)，
∵AF=DG（梯形高相等），
∴√3x=√3(4-x)，解得x=2，
∴BF=2，GC=2，DC=4，
∵CE=3，
∴DE=DC-CE=1，
设BP=y，则PC=7-y，
∵∠APE=∠B=60°，∠APC=∠B+∠BAP=∠APE+∠EPC，
∴∠BAP=∠EPC，
又
∵∠B=∠C=60°，
∴△ABP∽△PCE，
∴AB/PC=BP/CE，
∵AB=2x=4，PC=7-y，BP=y，CE=3，
∴4/(7-y)=y/3，解得y=3或y=4，
当y=3时，PC=4，
过E作EH⊥BC于H，在Rt△EHC中，∠C=60°，CE=3，
∴CH=3/2，EH=3√3/2，
∴PH=PC-CH=4-3/2=5/2，
在Rt△PEH中，PE=√(PH²+EH²)=√[(5/2)²+(3√3/2)²]=√13，
当y=4时，PC=3，
同理CH=3/2，PH=PC-CH=3-3/2=3/2，
PE=√[(3/2)²+(3√3/2)²]=3，
综上，PE的长为√13或3。

5. 如图,在△ABC 中,AB= AC= 5,BC= 8,点 P 为 BC 边上一动点(不与点 B,C 重合),过点 P 作射线 PM,交 AC 于点 M,使∠APM= ∠B.
(1)求证:△ABP∽△PCM.
(2)设 BP= x,CM= y,求 y 与 x 的函数关系式.
(3)当△APM 为等腰三角形时,求 PB 的长.

答案：
(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APM+∠MPC，∠APM=∠B，
∴∠BAP=∠MPC.
∴△ABP∽△PCM.
(2)解：
∵BP=x，BC=8，
∴PC=8-x.
∵△ABP∽△PCM，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CM}$.
∵AB=5，CM=y，
∴$\frac{5}{8-x}=\frac{x}{y}$.
∴$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x$（0＜x＜8）.
(3)解：分三种情况：
①AP=PM时，
∵△ABP∽△PCM，
∴$\frac{AP}{PM}=\frac{AB}{PC}=1$.
∴AB=PC，即5=8-x，解得x=3.
②AP=AM时，∠APM=∠AMP.
∵∠APM=∠B=∠C，∠AMP＞∠C，矛盾，舍去.
③AM=PM时，∠PAM=∠APM=∠B.
∵∠PAM=∠BAC，∠B=∠C，
∴△ABC∽△APC.
∴$\frac{AB}{AP}=\frac{BC}{PC}$，又△ABP∽△PCM，$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CM}$，CM=AC-AM=5-AM，AM=PM，$\frac{AP}{PM}=\frac{AB}{PC}$，得AP=$\frac{5}{8-x}y$.
由$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x$，代入得AP=$\frac{5}{8-x}(-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x)=\frac{-x^2+8x}{8-x}=x$.
∴$\frac{5}{x}=\frac{8}{8-x}$，解得$x=\frac{40}{13}$.
综上，PB的长为3或$\frac{40}{13}$.