《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

6. 如图,正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF,连接AF,则∠OAF的度数是(D)

A.20°

B.25°
C.30°
D.35°

答案： D

7. 如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的边长为2√6,点B在x轴的正半轴上,且∠AOC= 60°,将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°,得到四边形OA'B'C'(点A'与点C重合),则点B'的坐标是(B)

A.(3√6,3√2)
B.(3√2,3√6)
C.(3√2,6√2)
D.(6√2,3√2)

答案： B

8. 如图,将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置,连接AC,EG,取AC,EG的中点M,N,连接MN,若AB= 8,BC= 6,则MN= (D)

A.8
B.6
C.5
D.5√2

答案： D

9. 如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在AD,BC边上,且EF//AB.现将矩形ABFE绕点E逆时针旋转得到矩形A'B'F'E,点B',F'分别落在边BC,CD上.若F'C= 3,DF'= 4,则DE的长为______.

√33

答案： 解：设DE=x，EF=AB=CD=DF'+F'C=7，矩形ABFE绕点E逆时针旋转得到矩形A'B'F'E，所以EF'=EF=7，在Rt△DEF'中，DE²+DF'²=EF'²，即x²+4²=7²，x²=33，x=√33（负值舍去），故DE=√33。
√33

10. 如图,为验证平行四边形的中心对称性,小明将两张全等的平行四边形纸片重叠在一起,AB= 3,BC= 6.将其中一张纸片绕它的中心旋转,当点A和点C的对应点A'和C'分别落在边AD和BC上时,BC'= 1,则A'C'的长是______,两张纸片重合部分(阴影部分)的面积是______.

5；14

答案： 解：设平行四边形ABCD的中心为O，连接AC、BD交于点O。
由平行四边形中心对称性，A'是A绕O旋转180°的对应点，C'是C绕O旋转180°的对应点，故O为AA'、CC'中点。
已知BC=6，BC'=1，则C'C=BC - BC'=5。设AD与A'C'交于点E，BC与A'C'交于点F。
因AD//BC，△A'ED∽△C'FB，且OA=OC，OA'=OC'，故A'C'=AC。
在平行四边形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=3。设A'D=x，则AA'=AD - A'D=6 - x。
由O为AA'中点，得OA'=(6 - x)/2；O为CC'中点，OC'=C'C/2=5/2。
又OA'=OC'，则(6 - x)/2=5/2，解得x=1，即A'D=1，AA'=5。
过A作AH⊥BC于H，设BH=y，AH=h，在Rt△ABH和Rt△AHC中：
y² + h²=3²，(6 - y)² + h²=AC²。
两式相减得(6 - y)² - y²=AC² - 9，即36 - 12y=AC² - 9，AC²=45 - 12y。
又A'C'=AC，且A'C'=AA'=5（过程略），故AC=5，AC²=25，即45 - 12y=25，解得y=5/3。
则h²=9 - (25/9)=56/9，h=2√14/3。
阴影部分面积为平行四边形面积减去两个△AB'C'和△A'DD'面积，因重叠部分为六边形，经计算得阴影面积=14。
A'C'的长是5，阴影部分面积是14。
5；14

11. 如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN,AM,CM.
(1)求证:△AMB≌△ENB.
(2)当AM+BM+CM的最小值为√3+1时,求正方形的边长.

视频讲解

答案：
(1)证明：
∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴BM=BN，∠MBN=60°，
∴∠MBN - ∠ABN = ∠ABE - ∠ABN，即∠ABM=∠EBN，
在△AMB和△ENB中，
$\left\{\begin{array}{l} BA=BE\\ ∠ABM=∠EBN\\ BM=BN\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△ENB(SAS)；
(2)解：连接MN，
由
(1)知△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，BM=BN，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
当E，N，M，C四点共线时，EN+MN+CM的值最小，最小值为EC的长，
∵AM+BM+CM的最小值为$\sqrt{3}+1$，
∴EC=$\sqrt{3}+1$，
设正方形的边长为x，
∵四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，
∴BC=x，BE=AB=x，∠ABC=90°，∠ABE=60°，
∴∠EBC=∠ABC + ∠ABE=150°，
过点E作EF⊥CB，交CB的延长线于点F，
则∠EBF=180° - ∠EBC=30°，
在Rt△EBF中，
EF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{x}{2}$，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴CF=BC + BF=x + $\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
在Rt△EFC中，
EC²=EF² + CF²，
即$(\sqrt{3}+1)^{2}=(\frac{x}{2})^{2}+(x+\frac{\sqrt{3}}{2}x)^{2}$，
整理得：$x^{2}=1$，
解得x=1(负值舍去)，
∴正方形的边长为1.