《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 如图，某学校操场旗杆上高高飘扬着五星红旗，数学兴趣小组想测量旗杆的高度. 在离旗杆底部$a\ m$的$A$处，用高$1.5\ m$的测角仪$DA$测得旗杆顶端$C$的仰角为$\alpha$，则下列计算旗杆的高度$BC$正确的是 （C）

A.$(a\sin\alpha +1.5)\ m$
B.$(a\cos\alpha +1.5)\ m$
C.$(a\tan\alpha +1.5)\ m$
D.$\left(\frac{a}{\tan\alpha}+1.5\right)\ m$

答案： 解：过点D作DE⊥BC于点E，
则四边形ABED为矩形，
∴DE=AB=a m，BE=AD=1.5 m，
在Rt△CDE中，∠CDE=α，
tanα=CE/DE，
∴CE=DE·tanα=a tanα m，
∴BC=CE+BE=a tanα +1.5 m，
故选C。

2. 如图，两建筑物水平距离$BD$为$32$米，从点$A$测得对面建筑物点$C$的俯角为$30°$，点$D$的俯角为$45°$，则建筑物$CD$的高约为 （A）

A.$14$米
B.$17$米
C.$20$米
D.$22$米

答案： A

3. 如图，建筑物$BC$的屋顶有一根旗杆$AB$，小敏站在距离楼底端$C$点$25$米处的$D$点，测得此时旗杆顶点$A$的仰角为$50^\circ$，观测旗杆底部$B$点的仰角为$45^\circ$.（点$A$，$B$，$C$在同一直线上，且点$A$，$B$，$C$，$D$处于同一平面内，参考数据：$\sin50^\circ\approx0.8$，$\tan50^\circ\approx1.2$）
(1)求楼高$BC$.
(2)求旗杆的高度$AB$.

答案： 解：
(1)在Rt△BCD中，∠BDC=45°，CD=25米，∠BCD=90°，
∵tan∠BDC=BC/CD，
∴tan45°=BC/25，
∵tan45°=1，
∴BC=25×1=25米。
(2)在Rt△ACD中，∠ADC=50°，CD=25米，∠ACD=90°，
∵tan∠ADC=AC/CD，
∴tan50°=AC/25，
∵tan50°≈1.2，
∴AC≈25×1.2=30米，
∵AB=AC-BC，
∴AB≈30-25=5米。
答：
(1)楼高BC为25米；
(2)旗杆的高度AB约为5米。

4. 如图，河对岸有铁塔$AB$，$C$，$D$，$B$三点共线，在$C$处测得塔顶$A$的仰角为$30°$，向铁塔方向水平前进$14\ m$到达$D$，在$D$处测得$A$的仰角为$45°$，塔高$AB$为 （B）

A.$4(4\sqrt{3}-1)\ m$
B.$7(\sqrt{3}+1)\ m$
C.$(16\sqrt{3}+7)\ m$
D.$(10\sqrt{3}+7)\ m$

答案： B

5. 如图1，望江楼是成都的代表性建筑，它依江而建，造型独特，气势磅礴，它不仅是观赏江景的好地方，还是文人墨客吟诗作画的场所，夜晚的望江楼更是绝美. 小风家楼顶恰好能看到望江楼及水中倒影，其示意图如图2所示，小风利用测角仪在$A$处测得望江楼顶$C$处的俯角$\angle FAC=31°$，望江楼顶在水中的倒影$E$处的俯角$\angle FAE=54°$. 若小风家楼高$AB=100\ m$，求望江楼的高度$CD$.（结果精确到$1\ m$. 参考数据：$\sin31°\approx0.52$，$\cos31°\approx0.86$，$\tan31°\approx0.60$，$\sin54°\approx0.81$，$\cos54°\approx0.59$，$\tan54°\approx1.38$）

答案： 【解析】：本题主要考查了解直角三角形的应用，关键是构造仰角和俯角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解。
过点$A$作$AH\perp CD$于点$H$，则四边形$ABDH$是矩形，
所以$HD=AB=100\ m$，$\angle EAH=54°$，$\angle CAH=31°$，
设$CH=x\ m$，
在$Rt\triangle ACH$中，$\tan\angle CAH=\frac{CH}{AH}$，
所以$AH=\frac{CH}{\tan\angle CAH}=\frac{x}{\tan31°}$，
在$Rt\triangle AHE$中，$\tan\angle EAH=\frac{HE}{AH}$，
所以$HE=AH\tan\angle EAH=\frac{x}{\tan31°}\tan54°$，
又因为$HE-CH=HD=100\ m$，
所以可列出方程$\frac{x}{\tan31°}\tan54°-x=100$，
即$\frac{x}{0.60}×1.38-x=100$，
$\frac{1.38x}{0.60}-x=100$，
$\frac{23x}{10}×\frac{100}{60}-x=100$，
$\frac{23x}{6}-x=100$，
$\frac{23x-6x}{6}=100$，
$\frac{17x}{6}=100$，
$17x=600$，
解得$x=\frac{600}{17}\approx35.29$，
则$CD=CH+HD=35.29+100\approx135\ m$。
【答案】：望江楼的高度$CD$约为$135\ m$。