《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,在△ABC中,$\angle BCA= 90°$,$CD\perp AB$于点D,$\angle BED= 90°$,EB= ED,连接AE,若$BC= 3\sqrt{2}$,求△ABE的面积.

答案： 1. 首先，过点$E$作$EF\perp BC$交$CB$的延长线于点$F$：
因为$\angle BCA = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，所以$\angle ABC+\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle ABC+\angle BCD = 90^{\circ}$，则$\angle BAC=\angle BCD$。
又因为$\angle BED = 90^{\circ}$，$\angle BCA = 90^{\circ}$，所以$\angle EBF+\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle ACD = 90^{\circ}$。
已知$EB = ED$，$\angle EFB=\angle CDB = 90^{\circ}$。
由于$\angle EBF+\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\angle EBF=\angle BAD$，而$\angle BAD=\angle BCD$，则$\angle EBF=\angle BCD$。
2. 然后，证明$\triangle EFB\cong\triangle BDC$：
在$\triangle EFB$和$\triangle BDC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EFB=\angle BDC\\\angle EBF=\angle BCD\\EB = BD\end{array}\right.$（$AAS$判定定理）。
所以$EF = BC$。
3. 最后，求$\triangle ABE$的面积：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（对于$\triangle ABE$，以$BC$为底，$EF$为高），$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}BC\cdot EF$。
已知$BC = 3\sqrt{2}$，且$EF = BC$，则$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}$。
根据二次根式乘法法则$a\sqrt{m}\cdot b\sqrt{n}=ab\sqrt{mn}(a,b\gt0,m,n\geq0)$，$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}=\frac{1}{2}×9×2 = 9$。
所以$\triangle ABE$的面积为$9$。

9. 如图,在等腰三角形ABC中,AB= 2,$\angle A= 90^\circ$,E为腰AC的中点,点F在底边BC上,且$FE\perp BE$,求△CEF的面积.

答案： 解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=2，
∴AC=AB=2，∠C=45°，BC=$\sqrt{AB^2+AC^2}=2\sqrt{2}$．
∵E为AC中点，
∴AE=EC=1．
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$．
过F作FD⊥AC于D，设FD=DC=x（∠C=45°，△FDC为等腰直角三角形），则AD=2-x，ED=EC-DC=1-x．
∵∠FEB=90°，
∴∠AEB+∠FED=90°．
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠FED．
∴Rt△ABE∽Rt△DEF，
$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{FD}$，即$\frac{2}{1-x}=\frac{1}{x}$，
解得$x=\frac{1}{3}$．
$S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2} × EC × FD=\frac{1}{2} × 1 × \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$．
答：△CEF的面积为$\frac{1}{6}$．

10.【问题情境】如图1,在Rt△ABC中,$\angle ACB= 90^\circ$,$CD\perp AB$,我们可以利用△ABC与△ACD相似证明$AC^{2}= AD\cdot AB$,这个结论我们称之为射影定理,试证明这个定理.
【结论运用】如图2,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC,BD的交点,点E在CD上,过点C作$CF\perp BE$,垂足为F,连接OF.
(1)试利用射影定理证明:$\triangle BOF\backsim\triangle BED$.
(2)若DE= 2CE,求OF的长.


视频讲解

答案： （2）$\frac{6\sqrt{5}}{5}$