《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

11. (1)有6个大小相同的小正方形,恰好如图放置在△ABC中,则sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

(2)如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,∠B= α,∠ADC= β,用含α和β的代数式表示$\frac{AD}{AB}$的值为$\frac{sinα}{sinβ}$.

答案：
(1)解：设小正方形边长为1，设BC=x，AC=y。
由图知，直线AB过点(3,1)和(x,0)，斜率为$-\frac{y}{x}$，则$\frac{1-0}{3-x}=-\frac{y}{x}$，即$y=\frac{x}{x-3}$。
又直线AB过点(1,3)，则$\frac{3-0}{1-x}=-\frac{y}{x}$，联立解得x=6，y=2。
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，
sinB=$\frac{AC}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，
cosB=$\frac{BC}{AB}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
(2)解：在Rt△ABC中，AC=AB·sinα，BC=AB·cosα。
在Rt△ADC中，AC=AD·sinβ，DC=AD·cosβ。
∵BC=BD+DC，BD=AD·cosα（在△ABD中由正弦定理可得$\frac{AD}{sinα}=\frac{BD}{sin(β-α)}$，但初中用三角函数定义：DC=AD·cosβ，BC=AB·cosα，AC=AB·sinα=AD·sinβ，故AD=$\frac{AB·sinα}{sinβ}$，
$\frac{AD}{AB}=\frac{sinα}{sinβ}$。
(1)$\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
(2)$\frac{sinα}{sinβ}$

12. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,D是AB边的中点,BE⊥CD,垂足为E.已知AC= 15,$\cos A= \frac{3}{5}$.
(1)求△BCD的周长.
(2)求sin∠DBE的值.

答案：
(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，cosA=3/5。
∵cosA=AC/AB=3/5，
∴15/AB=3/5，解得AB=25。
由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√(25²-15²)=20。
∵D是AB中点，
∴CD=BD=AB/2=25/2=12.5。
△BCD周长=BC+CD+BD=20+12.5+12.5=45。
(2)解：S△ABC=AC·BC/2=15×20/2=150。
∵D是AB中点，
∴S△BCD=S△ABC/2=75。
∵BE⊥CD，S△BCD=CD·BE/2，
∴75=12.5·BE/2，解得BE=12。
在Rt△BED中，BD=12.5，BE=12，
∴DE=√(BD²-BE²)=√(12.5²-12²)=3.5=7/2。
sin∠DBE=DE/BD=(7/2)/12.5=7/25。

13. ▶中考热点·转化思想【方法学习】
如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan∠CPN的值.
思路：求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现：∠CPN不在直角三角形中,并且顶点不在格点处,我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N,可得MN//EC,则∠DNM= ∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到格点处,并且恰好在Rt△DMN中.
(1)据以上思路,可以方便求出tan∠CPN的值为$\frac{1}{2}$.
【问题解决】
(2)如图2,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,则cos∠CPN的值为$\frac{1}{2}$.
(3)如图3,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,则sin∠CPA的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
【思维拓展】
(4)如图4,若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格,网格顶点称为格点,已知菱形的较小内角为60度,点A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos∠CPA的值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$.
视频讲解

答案：
(1)$\frac{1}{2}$
(2)$\frac{1}{2}$
(3)$\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4)$\frac{\sqrt{21}}{7}$