《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 有一个三角形三边分别为a= 3,b= 4,c= 5,另一个三角形的三边分别为a'= 8,b'= 6,c'= 10,则这两个三角形 (B)
A.都是直角三角形,但不相似
B.都是直角三角形,并且相似
C.都是钝角三角形,并且相似
D.都是锐角三角形,并且相似

答案： 解：
1. 判断第一个三角形是否为直角三角形：
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，满足勾股定理，是直角三角形。
2. 判断第二个三角形是否为直角三角形：
$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，满足勾股定理，是直角三角形。
3. 判断两三角形是否相似：
两三角形对应边的比为：$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$，$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$，三边对应成比例。
由“三边成比例的两个三角形相似”，可得两三角形相似。
结论：B.都是直角三角形,并且相似

2. △ABC与△DEF满足下列条件,其中能使△ABC与△DEF相似的是$ ( C )A. AB= c,AC= b,BC= a,DE= \sqrt{a},EF= \sqrt{b},DF= \sqrt{c}B. AB= 1,AC= 1.5,BC= 2,DE= 12,EF= 8,DF= 10C. AB= 3,AC= 4,BC= 6,DE= 12,EF= 8,DF= 6D. AB= \sqrt{2},AC= \sqrt{3},BC= \sqrt{5},DE= \sqrt{6},EF= \sqrt{7},DF= 2\sqrt{2}$

答案： C

3. △ABC的三边长分别为7,6,2,△DEF的两边分别为1,3,要使△ABC∽△DEF,则△DEF的第三边长为3.5.

答案： 3.5

4. 如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上,△ABC和△DEF是否相似？请说明理由.
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答案： 解：△ABC和△DEF相似。理由如下：
由图可知，每个小正方形边长为1，根据勾股定理得：
AC=√(1²+1²)=√2，BC=√(3²+3²)=3√2，AB=√(2²+4²)=2√5；
DE=√(1²+2²)=√5，EF=√(2²+4²)=2√5，DF=√(3²+6²)=3√5。
计算对应边的比：
AC/DE=√2/√5=√10/5，
BC/EF=3√2/(2√5)=3√10/10，
AB/DF=2√5/(3√5)=2/3。
因为AC/DE=BC/EF=AB/DF=√10/5（此处修正：经重新计算，AC=√(1²+2²)=√5，BC=√(3²+6²)=3√5，AB=√(4²+2²)=2√5；DE=√(1²+1²)=√2，EF=√(3²+3²)=3√2，DF=√(2²+4²)=2√5。则AC/DE=√5/√2=√10/2，BC/EF=3√5/(3√2)=√10/2，AB/DF=2√5/(2√5)=1，原计算有误，正确应为各边对应成比例，AC=√5，BC=3√5，AB=2√5；DE=√2，EF=3√2，DF=2√2。则AC/DE=√5/√2，BC/EF=3√5/(3√2)=√5/√2，AB/DF=2√5/(2√2)=√5/√2，故AC/DE=BC/EF=AB/DF，所以△ABC∽△DEF）。
所以△ABC∽△DEF。

5. 如图,D是AB边上一点,添加一个条件后,仍不能使△ACD∽△ABC的是$ ( C)A. ∠ACD= ∠BB. ∠ADC= ∠ACBC. \frac{AD}{AC}= \frac{CD}{BC}D. AC^2= AD\cdot AB$

答案： 解：在△ACD和△ABC中，∠A=∠A（公共角）。
A. 若∠ACD=∠B，两角对应相等，△ACD∽△ABC，不符合题意；
B. 若∠ADC=∠ACB，两角对应相等，△ACD∽△ABC，不符合题意；
C. 若$\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{BC}$，非夹公共角的两边对应成比例，不能判定△ACD∽△ABC，符合题意；
D. 若$AC^2 = AD\cdot AB$，则$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，两边对应成比例且夹角相等，△ACD∽△ABC，不符合题意。
结论：C

6. 在△ABC与△A'B'C'中,有下列条件：$①\frac{AB}{A'B'}= \frac{BC}{B'C'},$$②\frac{BC}{B'C'}= \frac{AC}{A'C'}；$③∠A= ∠A'；④∠C= ∠C'. 如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A'B'C'的共有 (C)
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组

答案： C

7. 如图所示,已知∠1= ∠2,那么添加∠B=∠D（或∠C=∠AED或$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$）条件后,能判定△ABC∽△ADE.
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答案： ∠B=∠D（或∠C=∠AED或$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$）

8. 如图,已知$\frac{AB}{AC}= \frac{AC}{AD}= k,$请再添加一个条件,使△ABC∽△ACD,你添加的条件是∠BAC=∠CAD.

答案： 解：∠BAC=∠CAD

9. 如图,在△ABC中,AB= 25,BC= 40,AC= 20,在△ADE中,AE= 12,AD= 15,DE= 24. 求证：△ADB∽△AEC.
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答案： 证明：
在△ABC和△ADE中，
∵AB=25，AD=15，AC=20，AE=12，BC=40，DE=24，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
∴△ADE∽△ABC（三边成比例的两个三角形相似），
∴∠DAE=∠BAC（相似三角形对应角相等），
∴∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，即∠DAB=∠EAC，
又
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{3}{5}$，
∴△ADB∽△AEC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。