《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

7. 圆桌面（桌面中间有一个直径为 1 m 的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为 2 m，桌面离地面 1 m，若灯泡离地面 2 m，则地面圆环形阴影的面积是 （B）

A.2π m²
B.3π m²
C.6π m²
D.12π m²

答案： B

8. 如图，路灯距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从点 A 处沿 AO 所在的直线行走 14 m 到点 B 时，人影长度变短3.5m.

答案： 解：设小明在A处时影长为AM=x米，在B处时影长为BN=y米，AO=a米，则BO=AO-AB=(a-14)米。
由题意知，△AEM∽△OEM，△BFN∽△OFN，
则$\frac{AM}{OM}=\frac{AE}{OE}$，$\frac{BN}{ON}=\frac{BF}{OF}$，
即$\frac{x}{a+x}=\frac{1.6}{8}$，$\frac{y}{(a-14)+y}=\frac{1.6}{8}$，
解得x=$\frac{a}{4}$，y=$\frac{a-14}{4}$，
影长变短：x-y=$\frac{a}{4}-\frac{a-14}{4}$=3.5米。
答：人影长度变短3.5米。

9. 墙壁 CD 上 D 处有一盏灯（如图），小明站在 A 处测得他的影长与身高相等，都为 1.6 m，他向墙壁走 1 m 到 B 处时发现影子刚好落在 A 点，求灯泡与地面的距离 CD.

答案： 解：设$BC = x$ $m$，$CD = h$ $m$。
因为$AF = AE = 1.6$ $m$，$AB = 1$ $m$，所以$BE=AB + AE=1 + 1.6 = 2.6$ $m$。
由于$AF// CD$，所以$\triangle EAF\sim\triangle ECD$，则$\frac{AF}{CD}=\frac{AE}{EC}$，即$\frac{1.6}{h}=\frac{1.6}{x + 1+ 1.6}$ ①。
又因为$BG// CD$，所以$\triangle ABG\sim\triangle ACD$，则$\frac{BG}{CD}=\frac{AB}{AC}$，因为$BG = AF = 1.6$ $m$，$AC=x + 1$，所以$\frac{1.6}{h}=\frac{1}{x + 1}$ ②。
由①$\frac{1.6}{h}=\frac{1.6}{x + 2.6}$可得$x+2.6=h$；由②$\frac{1.6}{h}=\frac{1}{x + 1}$可得$1.6(x + 1)=h$。
将$h=x + 2.6$代入$1.6(x + 1)=h$中，得到$1.6(x + 1)=x + 2.6$。
展开括号：$1.6x+1.6=x + 2.6$。
移项：$1.6x-x=2.6 - 1.6$。
合并同类项：$0.6x=1$，解得$x=\frac{5}{3}$。
把$x=\frac{5}{3}$代入$h=x + 2.6$，$h=\frac{5}{3}+2.6=\frac{5}{3}+\frac{13}{5}=\frac{25 + 39}{15}=\frac{64}{15}\approx 4.3$（$m$）。
所以灯泡与地面的距离$CD$为$\frac{64}{15}$ $m$。

10. 如图，小明从点 A 出发沿 AB 方向匀速前进，2 s 后到达点 D，此时他在某一灯光下的影子为 DA，继续按此速度行走 2 s 到达点 F，此时他在同一灯光下的影子落在其身后的线段 DF 上，测得此时影长 MF 为 1.2 m，然后他将速度提高到原来的 1.5 倍，再行走 2 s 到达点 H.他在同一灯光下的影子恰好是 HB.图中线段 CD，EF，GH 表示小明的身高.
(1)请在图中画出小明的影子 MF.
(2)若 A，B 两地相距 12 m，求小明原来的速度.

视频讲解

答案： 1. 首先设小明原来的速度为$x m/s$：
则$AD = DF = 2x$，$FH = 1.5x×2 = 3x$，$AB = 12$，所以$HB=12 - (2x + 2x+3x)=12 - 7x$。
2. 然后根据中心投影的性质（相似三角形的性质）：
因为$CD// EF// GH$，由中心投影可知，$\triangle DEF$和$\triangle MEF$，$\triangle AGH$和$\triangle BGH$所在的三角形相似（同一灯光下，物体与其影子所在的三角形相似）。
由$CD// EF$可得$\triangle DEF\sim\triangle MEF$（这里利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），同理$\triangle AGH\sim\triangle BGH$。
又因为$\frac{EF}{CD}=\frac{MF}{DA}$（相似三角形对应边成比例），且$CD = EF$，所以$DA = MF$（等量代换）。
再根据$\frac{GH}{CD}=\frac{HB}{AD}$（相似三角形对应边成比例），因为$CD = GH$，所以$AD = HB$。
3. 最后列方程求解：
已知$MF = 1.2$，所以$AD = 1.2$，又因为$AD = HB$，则$2x=12-(2x + 2x+3x)$。
即$2x=12 - 7x$。
移项可得$2x + 7x=12$（根据等式性质，等式两边同时加上$7x$）。
合并同类项得$9x = 12$。
解得$x = 1.5$。
(1) 影子$MF$如图所示（根据中心投影，连接光源与物体顶端并延长交地面于一点，两点间线段为影子）。
(2) 小明原来的速度是$1.5m/s$。