《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

8. 解关于x的方程：
(1)$(m - 1)x^2 + (2m - 1)x + m - 3 = 0$；
(2)$(p + 1)x^2 - 2px + p - 2 = 0$。

答案：
(1)
当$m - 1 = 0$，即$m = 1$时，方程为$(2×1 - 1)x + 1 - 3 = 0$，$x - 2 = 0$，解得$x = 2$；
当$m - 1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$时，$\Delta=(2m - 1)^2 - 4(m - 1)(m - 3)=4m^2 - 4m + 1 - 4(m^2 - 4m + 3)=12m - 11$，
若$\Delta\geq0$，即$m\geq\frac{11}{12}$且$m≠1$，$x=\frac{-(2m - 1)\pm\sqrt{12m - 11}}{2(m - 1)}$；
若$\Delta＜0$，即$m＜\frac{11}{12}$，方程无实数根。
(2)
当$p + 1 = 0$，即$p = -1$时，方程为$2x - 1 - 2 = 0$，$2x - 3 = 0$，解得$x=\frac{3}{2}$；
当$p + 1 ≠ 0$，即$p ≠ -1$时，$\Delta=(-2p)^2 - 4(p + 1)(p - 2)=4p^2 - 4(p^2 - p - 2)=4p + 8$，
若$\Delta\geq0$，即$p\geq - 2$且$p≠ - 1$，$x=\frac{2p\pm\sqrt{4p + 8}}{2(p + 1)}=\frac{p\pm\sqrt{p + 2}}{p + 1}$；
若$\Delta＜0$，即$p＜ - 2$，方程无实数根。

9. 小明说他发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：若一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的系数a,c异号(即两数为一正一负),那么这个方程一定有两个不相等的实数根。
他的发现正确吗？请你先举实例验证他的发现是否正确,若你认为他的发现是一般规律,再加以证明。

答案： 对

10. 关于x的一元二次方程$(m - 1)x^2 - 2mx + m + 1 = 0$。
(1)求出方程的根。
(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数？

答案：
(1)解：
∵方程是一元二次方程，
∴$m - 1 \neq 0$，即$m \neq 1$。
$a = m - 1$，$b = -2m$，$c = m + 1$
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4(m - 1)(m + 1) = 4m^2 - 4(m^2 - 1) = 4$
$x = \frac{2m \pm \sqrt{4}}{2(m - 1)} = \frac{2m \pm 2}{2(m - 1)}$
$x_1 = \frac{2m + 2}{2(m - 1)} = \frac{m + 1}{m - 1}$，$x_2 = \frac{2m - 2}{2(m - 1)} = 1$
(2)解：由
(1)知$x_1 = \frac{m + 1}{m - 1} = 1 + \frac{2}{m - 1}$，$x_2 = 1$
∵方程的两个根都为正整数，$x_2 = 1$是正整数
∴$x_1 = 1 + \frac{2}{m - 1}$为正整数
∴$\frac{2}{m - 1}$为正整数，$m - 1$是2的正因数
$m - 1 = 1$或$m - 1 = 2$
解得$m = 2$或$m = 3$
∴$m = 2$或$3$

11. 中考热点·思维训练 已知三整数a,b,c之和为13,且$\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$,求a的最大值和最小值,并求出此时相应的b与c的值。

答案： 解：
∵$\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$，
∴$b^2 = ac$。
∵$a + b + c = 13$，
∴$c = 13 - a - b$。
将$c = 13 - a - b$代入$b^2 = ac$，得$b^2 = a(13 - a - b)$，
整理得$a^2 + (b - 13)a + b^2 = 0$。
∵a为整数，
∴此关于a的一元二次方程有整数根，判别式$\Delta = (b - 13)^2 - 4b^2 \geq 0$，
即$-3b^2 - 26b + 169 \geq 0$，$3b^2 + 26b - 169 \leq 0$。
解不等式$3b^2 + 26b - 169 \leq 0$，
对于方程$3b^2 + 26b - 169 = 0$，
$b = \frac{-26 \pm \sqrt{26^2 - 4×3×(-169)}}{2×3} = \frac{-26 \pm \sqrt{676 + 2028}}{6} = \frac{-26 \pm \sqrt{2704}}{6} = \frac{-26 \pm 52}{6}$，
$b_1 = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \approx 4.33$，$b_2 = \frac{-78}{6} = -13$。
∴不等式的解集为$-13 \leq b \leq \frac{13}{3}$，b为整数，故b可取-13,-12,...,4。
∵a为整数，且a≠0，由韦达定理知$a_1 + a_2 = 13 - b$，$a_1a_2 = b^2$。
当b=-13时，方程为$a^2 + (-13 - 13)a + (-13)^2 = a^2 - 26a + 169 = 0$，$(a - 13)^2 = 0$，a=13，此时c=13 - a - b=13 - 13 - (-13)=13。
当b=-12时，方程为$a^2 + (-12 - 13)a + (-12)^2 = a^2 - 25a + 144 = 0$，$(a - 9)(a - 16)=0$，a=9或16，c=13 - 9 - (-12)=16或c=13 - 16 - (-12)=9。
当b=-11时，方程为$a^2 + (-11 - 13)a + 121 = a^2 - 24a + 121 = 0$，$\Delta=576 - 484=92$，非完全平方数，a非整数。
当b=-10时，方程为$a^2 - 23a + 100 = 0$，$\Delta=529 - 400=129$，非完全平方数。
当b=-9时，$a^2 - 22a + 81 = 0$，$\Delta=484 - 324=160$，非完全平方数。
当b=-8时，$a^2 - 21a + 64 = 0$，$\Delta=441 - 256=185$，非完全平方数。
当b=-7时，$a^2 - 20a + 49 = 0$，$\Delta=400 - 196=204$，非完全平方数。
当b=-6时，$a^2 - 19a + 36 = 0$，$\Delta=361 - 144=217$，非完全平方数。
当b=-5时，$a^2 - 18a + 25 = 0$，$\Delta=324 - 100=224$，非完全平方数。
当b=-4时，$a^2 - 17a + 16 = 0$，$(a - 1)(a - 16)=0$，a=1或16，c=13 - 1 - (-4)=16或c=13 - 16 - (-4)=1。
当b=-3时，$a^2 - 16a + 9 = 0$，$\Delta=256 - 36=220$，非完全平方数。
当b=-2时，$a^2 - 15a + 4 = 0$，$\Delta=225 - 16=209$，非完全平方数。
当b=-1时，$a^2 - 14a + 1 = 0$，$\Delta=196 - 4=192$，非完全平方数。
当b=0时，$a^2 - 13a = 0$，a=0或13，a=0舍去，a=13，c=0，但此时$\frac{b}{a}$无意义，舍去。
当b=1时，$a^2 - 12a + 1 = 0$，$\Delta=144 - 4=140$，非完全平方数。
当b=2时，$a^2 - 11a + 4 = 0$，$\Delta=121 - 16=105$，非完全平方数。
当b=3时，$a^2 - 10a + 9 = 0$，$(a - 1)(a - 9)=0$，a=1或9，c=13 - 1 - 3=9或c=13 - 9 - 3=1。
当b=4时，$a^2 - 9a + 16 = 0$，$\Delta=81 - 64=17$，非完全平方数。
综上，a的可能值有1,9,13,16等。
∴a的最大值为16，此时当b=-12时，c=16；当b=-4时，c=1。
a的最小值为1，此时当b=-4时，c=16；当b=3时，c=9。
答：a的最大值为16，此时相应的b=-12,c=16或b=-4,c=1；a的最小值为1，此时相应的b=-4,c=16或b=3,c=9。