《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点,DE//AC,CE//BD,连接 OE,若 AC= 12,BD= 16,则 OE 的长为 (C)

A.8
B.9
C.10
D.11

答案： C

2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,AB= 3,AC= 4,P 为边 BC 上一动点,PE⊥AB 于点 E,PF⊥AC 于点 F,连接 EF,则 EF 的最小值是 (A)

A.2.4
B.2
C.1.5
D.1.2

答案： A

3. 我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形.现有一个对角线分别为 6 cm 和 8 cm 的菱形,它的中点四边形的对角线长是 5cm.

答案： 解：
∵菱形的对角线互相垂直且平分，长度分别为6cm和8cm。
顺次连接菱形四边中点所得的中点四边形，其两组对边分别平行且等于菱形对角线的一半，
∴中点四边形为矩形，且矩形的两条邻边分别为$\frac{6}{2}=3$cm和$\frac{8}{2}=4$cm。
根据勾股定理，矩形的对角线长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$cm。
5

4. 如图,在□ABCD 中,AE⊥BC 于点 E,延长 BC 至点 F,使 CF= BE,连接 DF,AF 与 DE 交于点 O.
(1)求证：四边形 AEFD 为矩形.
(2)若 AB= 3,OE= 2,BF= 5,求 AE 的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC。
∵CF=BE，
∴BC=EF，
∴AD=EF。
∵AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形。
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴平行四边形AEFD为矩形。
(2)解：
∵四边形AEFD是矩形，
∴AF=DE，OE=OF=2，OA=OD，
∴EF=AD=BC，AF=DE=2OE=4。
设BE=CF=x，
∵BF=5，
∴BC=EF=5-2x，
∴AD=5-2x。
∵AB=3，AE⊥BC，
在Rt△ABE中，AE²=AB²-BE²=9-x²。
在Rt△AEF中，AE²=AF²-EF²=16-(5-2x)²。
∴9-x²=16-(5-2x)²，
解得x=2（x=4/3舍去），
∴AE²=9-2²=5，
∴AE=√5。

5. 如图,把长方形 ABCD 沿 EF 折叠后,点 D,C 分别落在 D',C'的位置.若∠DEF= 65°,则∠BFC'= (B)

A.45°
B.50°
C.60°
D.65°

答案： B

6. 如图,已知矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠,使点 C 落在 C'处,BC'交 AD 于点 E,若 AD= 8,AB= 4,则 DE 的长为 (C)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： C

7. 如图,将矩形纸片 ABCD 的四个角向内折起,恰好能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形 EFGH.若 EH= 3 cm,EF= 4 cm,则边 AD 的长是 5cm.

答案： 5

8. 如图,矩形纸片 ABCD 中,已知 AD= 8,折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合,点 B 落在点 F 处,折痕为 AE,且 BE= 3.
(1)求 CF 的长.
(2)求 AB 的长.

答案：
(1)
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，BC=AD=8。
∵BE=3，
∴EC=BC-BE=8-3=5。
由折叠性质得：∠AFE=∠B=90°，EF=BE=3，AF=AB。
∴∠EFC=180°-∠AFE=90°。
在Rt△EFC中，CF=$\sqrt{EC^2-EF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
(2)
解：设AB=AF=x。
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{x^2+8^2}$。
∵AC=AF+CF=x+4，
∴$\sqrt{x^2+64}=x+4$。
两边平方得：$x^2+64=x^2+8x+16$，
解得x=6。
即AB=6。