《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. 若函数$y= \begin{cases} x^2+2(x\leq2) \\ 2x(x＞2) \end{cases} $,当函数值$y= 8$时,则自变量x的值是 (B)
A.$\pm\sqrt{6}$
B.$-\sqrt{6}$或4
C.$\pm\sqrt{6}$或4
D.4

答案： B

10. 如图,某农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用旧墙,其余各面用总长24 m的栅栏围成,设总面积为$S(m^2)$,垂直于墙的一边长为$x(m)$. 则S关于x的函数关系式为$S = - 4x^{2} + 24x$,自变量的取值范围是$0\lt x\lt6$.

答案： $S = - 4x^{2} + 24x$；$0\lt x\lt6$

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点D在BC上,$DE// AC$,交AB于点E,点F在AC上,$DC= DF$,若$BC= 3$,$EB= 4$,$CD= x$,$CF= y$,则y与x的函数关系式为$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4}x$,自变量x的取值范围是$0＜x＜3$.

答案： $y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4}x$；$0＜x＜3$

12. 如图,在正方形ABCD中,$AB= 2$,点M为正方形ABCD的边CD上的动点(与点C,D不重合),连接BM,过点M作BM的垂线,与正方形ABCD的外角$\angle ADE$的平分线交于点F. 设$CM= x$,$\triangle DFM$的面积为y,求y与x之间的函数关系式.

答案： 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴ CD=AD=2，∠ADC=∠BCD=90°，∠ADE=90°．
∵ DF平分∠ADE，
∴ ∠ADF=∠EDF=45°，∠CDF=∠ADC+∠ADF=135°．
∵ CM=x，
∴ DM=CD-CM=2-x，0＜x＜2．
∵ FM⊥BM，
∴ ∠BMF=90°，
∴ ∠DMC+∠FMD=90°．
∵ ∠BCD=90°，
∴ ∠DMC+∠MBC=90°，
∴ ∠FMD=∠MBC．
过点F作FN⊥CD，交CD的延长线于点N，
则∠FND=90°=∠BCD．
在△FNM和△MCB中，
∵ ∠FMD=∠MBC，∠FND=∠BCD，
∴ △FNM∽△MCB，
∴ $\frac{FN}{MC}=\frac{NM}{CB}$．
设FN=NM=a（∠FDN=45°，△FDN为等腰直角三角形），
则 $\frac{a}{x}=\frac{2-x+a}{2}$，
解得 $a=x$，即FN=x．
∴ $y=S_{\triangle DFM}=\frac{1}{2} \cdot DM \cdot FN=\frac{1}{2}(2-x)x=-\frac{1}{2}x^2+x$．
综上，y与x之间的函数关系式为 $y=-\frac{1}{2}x^2+x$（0＜x＜2）．