《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

10. 矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示,反比例函数$y= \frac{k}{x}$的图象与AB边交于点D,与AC边交于点F,与OA交于点E,$OE= 2AE$,若四边形ODAF的面积为2,则k的值是$\frac{8}{5}$.

答案： $\frac{8}{5}$

11. 如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,点$A(4,2)在函数y= \frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上.将直线OA沿y轴向上平移,平移后的直线与y轴交于点B,与函数$y= \frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象交于点C.若$BC= \sqrt{5}$,则点B的坐标是______.($(0,3)$)

答案： $(0,3)$

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC= BC= 5$,$AB= 8$,$AB\perp x$轴,垂足为A,反比例函数$y= \frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点C,交AB于点D.
(1)若$OA= AB$,求k的值.
(2)若$BC= BD$,连接OC,求$\triangle OAC$的面积.

答案：
(1) 解：过点C作CE⊥AB于E，CF⊥OA于F。
∵AC=BC=5，AB=8，
∴AE=BE=4，CE=√(AC²-AE²)=√(5²-4²)=3。
∵OA=AB=8，AB⊥x轴，
∴A(8,0)，B(8,8)，
∴C点横坐标为OA-CE=8-3=5，纵坐标为AE=4，即C(5,4)。
∵C在y=k/x上，
∴k=5×4=20。
(2) 解：设A(a,0)，则B(a,8)，D(a,d)，C(a-3,4)。
∵BC=BD=5，B(a,8)，D(a,d)，
∴BD=|8-d|=5，d=3（d=13舍），即D(a,3)。
∵C(a-3,4)，D(a,3)在y=k/x上，
∴k=4(a-3)=3a，解得a=12。
∴OA=12，CF=4，
S△OAC=1/2×OA×CF=1/2×12×4=24。

13. 如图,一次函数$y= k_{1}x+b与反比例函数y= \frac{k_{2}}{x}在第一象限交于M(2,8)$,N两点,NA垂直x轴于点A,O为坐标原点,四边形OANM的面积为38.
(1)求反比例函数及一次函数的表达式.
(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点,请简要描述使$\triangle PMN$的面积最小时点P的位置(不需证明),并求出点P的坐标和$\triangle PMN$面积的最小值.

答案：
(1)解：
∵点M(2,8)在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，
∴$8=\frac{k_2}{2}$，解得$k_2=16$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{16}{x}$。
设点N的坐标为$(a,\frac{16}{a})$，其中$a＞2$。
∵NA垂直x轴于点A，
∴点A的坐标为$(a,0)$。
过点M作MB垂直x轴于点B，则点B的坐标为$(2,0)$，MB=8，OA=a，OB=2，AB=a-2，NA=$\frac{16}{a}$。
四边形OANM的面积=梯形MBAN的面积+三角形OBM的面积，
即$S_{梯形MBAN}=\frac{1}{2}(MB + NA)\cdot AB=\frac{1}{2}(8+\frac{16}{a})(a - 2)$，
$S_{\triangle OBM}=\frac{1}{2}\cdot OB\cdot MB=\frac{1}{2}×2×8=8$。
∵四边形OANM的面积为38，
∴$\frac{1}{2}(8+\frac{16}{a})(a - 2)+8=38$，
化简得$(8+\frac{16}{a})(a - 2)=60$，
$8a - 16 + 16 - \frac{32}{a}=60$，
$8a - \frac{32}{a}=60$，
$2a - \frac{8}{a}=\frac{15}{2}$，
$4a^2 - 16 = 15a$，
$4a^2 - 15a - 16 = 0$，
解得$a=4$或$a=-\frac{4}{4}$（舍去），
∴点N的坐标为$(4,4)$。
∵点M(2,8)，N(4,4)在一次函数$y=k_1x + b$的图象上，
∴$\begin{cases}2k_1 + b=8\\4k_1 + b=4\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k_1=-2\\b=12\end{cases}$，
∴一次函数的表达式为$y=-2x + 12$。
(2)解：点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，当点P为直线MN向下平移与反比例函数第三象限图象的唯一交点时，$\triangle PMN$的面积最小。
设平移后的直线解析式为$y=-2x + m$，与反比例函数$y=\frac{16}{x}(x＜0)$联立得：
$-2x + m=\frac{16}{x}$，
$2x^2 - mx + 16 = 0$，
当$\Delta=m^2 - 128=0$时，$m=-8\sqrt{2}$（正值舍去），
此时$x=-\frac{-m}{2×2}=-\frac{8\sqrt{2}}{4}=-2\sqrt{2}$，$y=\frac{16}{-2\sqrt{2}}=-4\sqrt{2}$，
∴点P的坐标为$(-2\sqrt{2},-4\sqrt{2})$。
直线MN的解析式为$y=-2x + 12$，即$2x + y - 12 = 0$，
点P到直线MN的距离$d=\frac{|2×(-2\sqrt{2}) + (-4\sqrt{2}) - 12|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}=\frac{|-8\sqrt{2} - 12|}{\sqrt{5}}=\frac{12 + 8\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，
$MN=\sqrt{(4 - 2)^2 + (4 - 8)^2}=\sqrt{4 + 16}=2\sqrt{5}$，
$\triangle PMN$面积的最小值=$\frac{1}{2}× MN× d=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\frac{12 + 8\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=12 + 8\sqrt{2}$。
综上，点P的坐标为$(-2\sqrt{2},-4\sqrt{2})$，$\triangle PMN$面积的最小值为$12 + 8\sqrt{2}$。