《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,以边长为2的正方形CDEF的对角线交点O为端点引两条互相垂直的射线,分别与正方形CDEF的边交于A,B两点,则线段AB的最小值为√2.

答案： 解：连接OD、OC。
∵正方形CDEF边长为2，O为对角线交点，
∴OD=OC=√2，∠OCD=∠ODE=45°，∠COD=90°。
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD。
在△AOC和△BOD中，
∠OCA=∠ODB=45°，OC=OD，∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（ASA），
∴OA=OB。
∴△AOB为等腰直角三角形，AB=√2OA。
当OA最小时，AB最小。
OA最小值为O到正方形边的距离，即OA_min=1。
∴AB_min=√2×1=√2。
√2

10. 如图,P为正方形ABCD内一点,且$BP= 2$,$PC= 3$,$\angle APB= 135^\circ$,将$\triangle APB$绕点B顺时针旋转$90^\circ得到\triangle CP'B$,连接$PP'$,求AP的长.

答案： 证明：
∵将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP'B，
∴△APB≌△CP'B，∠PBP'=90°，
∴AP=CP'，BP=BP'=2，∠APB=∠CP'B=135°，
∵∠PBP'=90°，BP=BP'=2，
∴△PBP'是等腰直角三角形，
∴PP'=√(BP²+BP'²)=√(2²+2²)=2√2，∠BP'P=45°，
∵∠CP'B=135°，∠BP'P=45°，
∴∠PP'C=∠CP'B-∠BP'P=135°-45°=90°，
在Rt△PP'C中，PP'=2√2，PC=3，
∴CP'=√(PC²-PP'²)=√(3²-(2√2)²)=√(9-8)=1，
∴AP=CP'=1．
答：AP的长为1．

11. 如图,点E在正方形ABCD内,且$\angle AED= 90°$,$AE= 2$,连接BE,则$\triangle ABE$的面积为2.

答案： 2

12. 中考热点·思维训练 如图,在平面直角坐标系xOy中,点$P(4,4)$,A,B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点,且$\triangle ABO$的周长是8,则点P到直线AB的距离是______4.

答案： $4$

13. 已知：如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,AE与BF相交于点P,并且$AE= BF$.
(1)如图1,判断AE和BF的位置关系,并说明理由.
(2)若$AB= 8$,$BE= 6$,求BP的长度.
(3)如图2,点F在线段CD上运动时(点F不与C,D两点重合),$DN\perp AE$,$FM\perp DN$,四边形FMNP能否成为正方形？请说明理由.

答案：
(1)解：AE⊥BF。
理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°。
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=BC\\ AE=BF\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)。
∴∠BAE=∠CBF。
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°。
∴∠BPE=90°，即AE⊥BF。
(2)解：
∵AB=8，BE=6，∠ABE=90°，
∴AE=$\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$。
∵S△ABE=$\frac{1}{2}AB\cdot BE=\frac{1}{2}AE\cdot BP$，
∴$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× BP$，
解得BP=4.8。
(3)解：能。
理由：
∵DN⊥AE，FM⊥DN，AE⊥BF，
∴∠PNM=∠NMF=∠MPN=90°，
∴四边形FMNP是矩形。
由
(1)知∠BAE=∠CBF，
∵∠ADN+∠DAE=90°，∠BAE+∠DAE=90°，
∴∠ADN=∠BAE=∠CBF。
∵AD=BC，∠ADN=∠BCF=90°，
∴△ADN≌△BCF(ASA)。
∴DN=BF=AE。
∵∠DAN=∠BAE，AD=AB，∠ADN=∠ABE=90°，
∴△ADN≌△ABE(ASA)。
∴AN=AE。
∴DN=AN。
∵∠ANP=∠DNM=90°，∠NAP=∠NDM，
∴△ANP≌△DNM(AAS)。
∴NP=NM。
∴矩形FMNP是正方形。