《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. 已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c的顶点在直线y= x$上,且开口向下,请写出一个满足上述条件的抛物线的表达式$y = -x^2$（答案不唯一）.

答案： $y = -x^2$（答案不唯一）

10. 如图是抛物线形拱桥,当拱桥顶端$C离水面2\ m$时,水面$AB的宽度为4\ m$. 有下列结论：①当水面宽度为$5\ m$时,水面下降了$1.125\ m$；②当水面下降$1\ m$时,水面宽度为$2\sqrt{6}\ m$；③当水面下降$2\ m$时,水面宽度增加了$(4\sqrt{2}-4)\ m$. 其中,正确的结论是①②③.
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答案： ①②③

11. 如图,已知抛物线$L的对称轴为x= 6$,$y的最大值为4$,且点$P(7,3)在L$上.
(1)抛物线的表达式为$ y = -x^2 + 12x - 32 $.
(2)在坐标平面上放置一透明矩形胶片$ABCD$,其中$A(10,-5)$,$B(10,0)$,$C(2,0)$. 向右平移该胶片$m(m＞0)$个单位长度,当$L$落在胶片内部(不含边界)的部分对应的函数值$y随x$的增大而减小时,求$m$的取值范围.
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$ 6 ＜ m ＜ 7 $

答案：
(1) $ y = -x^2 + 12x - 32 $；
(2) $ 6 ＜ m ＜ 7 $。

12. ▶中考热点·方案设计 某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件,如图所示,该抛物线型构件的底部宽度$OM= 12$米,顶点$P到底部OM的距离为9$米. 将该抛物线放入平面直角坐标系中,点$M在x$轴上. 其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一是“川”字形内部支架(由线段$AB$,$PN$,$DC$构成),点$B$,$N$,$C在OM$上,且$OB= BN= NC= CM$,点$A$,$D$在抛物线上,$AB$,$PN$,$DC均垂直于OM$；
方案二是“H”形内部支架(由线段$A'B'$,$D'C'$,$EF$构成),点$B'$,$C'在OM$上,且$OB'= B'C'= C'M$,点$A'$,$D'$在抛物线上,$A'B'$,$D'C'均垂直于OM$,$E$,$F分别是A'B'$,$D'C'$的中点.
(1)该抛物线的函数表达式为$ y=-\frac{1}{4}x^2 + 3x $.
(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件,那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由.
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(2) 解：方案一：
∵ $ OM=12 $，$ OB=BN=NC=CM $，
∴ $ OB=BN=NC=CM=3 $，
∴ $ B(3,0) $，$ N(6,0) $，$ C(9,0) $。
∵ $ PN $ 为抛物线顶点到 $ OM $ 的垂线，
∴ $ PN=9 $。
当 $ x=3 $ 时，$ y=-\frac{1}{4}×3^2 + 3×3=\frac{27}{4} $，即 $ AB=\frac{27}{4} $。
同理 $ DC=\frac{27}{4} $。
总长度：$ AB + PN + DC=\frac{27}{4}+9+\frac{27}{4}=\frac{27}{2}+9=\frac{45}{2}=22.5 $。
方案二：
∵ $ OB'=B'C'=C'M $，$ OM=12 $，
∴ $ OB'=B'C'=C'M=4 $，
∴ $ B'(4,0) $，$ C'(8,0) $。
当 $ x=4 $ 时，$ y=-\frac{1}{4}×4^2 + 3×4=8 $，即 $ A'B'=8 $。
同理 $ D'C'=8 $。
$ E $，$ F $ 为中点，$ EF=B'C'=4 $。
总长度：$ A'B' + D'C' + EF=8+8+4=20 $。
∵ $ 20＜22.5 $，
∴ 方案二节省材料。
答：方案二节省材料。

答案：
(1) $ y=-\frac{1}{4}x^2 + 3x $
(2) 解：方案一：
∵ $ OM=12 $，$ OB=BN=NC=CM $，
∴ $ OB=BN=NC=CM=3 $，
∴ $ B(3,0) $，$ N(6,0) $，$ C(9,0) $。
∵ $ PN $ 为抛物线顶点到 $ OM $ 的垂线，
∴ $ PN=9 $。
当 $ x=3 $ 时，$ y=-\frac{1}{4}×3^2 + 3×3=\frac{27}{4} $，即 $ AB=\frac{27}{4} $。
同理 $ DC=\frac{27}{4} $。
总长度：$ AB + PN + DC=\frac{27}{4}+9+\frac{27}{4}=\frac{27}{2}+9=\frac{45}{2}=22.5 $。
方案二：
∵ $ OB'=B'C'=C'M $，$ OM=12 $，
∴ $ OB'=B'C'=C'M=4 $，
∴ $ B'(4,0) $，$ C'(8,0) $。
当 $ x=4 $ 时，$ y=-\frac{1}{4}×4^2 + 3×4=8 $，即 $ A'B'=8 $。
同理 $ D'C'=8 $。
$ E $，$ F $ 为中点，$ EF=B'C'=4 $。
总长度：$ A'B' + D'C' + EF=8+8+4=20 $。
∵ $ 20＜22.5 $，
∴ 方案二节省材料。
答：方案二节省材料。