《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 将方程$3x^{2}+6x - 1= 0$配方,变形正确的是(C)
A.$(3x + 1)^{2}= 1$
B.$(3x + 1)^{2}= 2$
C.$(x + 1)^{2}= \frac{4}{3}$
D.$(x + 1)^{2}= \frac{1}{3}$

答案： C

2. 关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c= 0$($a$,$b$,$c$是常数,$a≠0$)配方后为$(x + 1)^{2}= d$($d$为常数),则$\frac{b}{2a}= $1.

答案： 解：将$(x + 1)^2 = d$展开，得$x^2 + 2x + 1 - d = 0$。
因为原方程$ax^2 + bx + c = 0$配方后为$(x + 1)^2 = d$，所以$a = 1$，$b = 2$。
则$\frac{b}{2a} = \frac{2}{2×1} = 1$。
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3. 用配方法解方程：
(1)$3x^{2}-6x + 1= 0$；
(2)$-2x^{2}+2x + 1= 0$；
(3)$2x^{2}-3x+\frac{1}{2}= 0$.

答案：
(1)解：$3x^{2}-6x + 1= 0$
$x^{2}-2x+\frac{1}{3}=0$
$x^{2}-2x=-\frac{1}{3}$
$x^{2}-2x + 1=-\frac{1}{3}+ 1$
$(x - 1)^{2}=\frac{2}{3}$
$x - 1=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}$
$x_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{3}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{3}$
(2)解：$-2x^{2}+2x + 1= 0$
$x^{2}-x-\frac{1}{2}=0$
$x^{2}-x=\frac{1}{2}$
$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$
$(x-\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{4}$
$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
$x_{1}=\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$
(3)解：$2x^{2}-3x+\frac{1}{2}= 0$
$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}=0$
$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$
$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$
$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{5}{16}$
$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$
$x_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{4}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{4}$

4. 把多项式$x^{2}-3x + 4$进行配方,结果为(B)
A.$(x - 3)^{2}-5$
B.$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}$
C.$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{25}{4}$
D.$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}$

答案： B

5. 借助所学知识确定代数式$x^{2}+2x + 3$的最值,下列说法正确的是(A)
A.有最小值是2
B.有最大值是2
C.有最小值是6
D.有最大值是6

答案： A

6. 已知$a$,$b满足x= a^{2}+b^{2}+21$,$y = 4(2b - a)$,则$x$,$y$的大小关系是(C)
A.$x\leq y$
B.$x\geq y$
C.$x＞y$
D.$x＜y$

答案： C

7. 用配方法把代数式$x - 2x^{2}-2化为a(x + m)^{2}+n$的形式,当$x$取$\frac{1}{4}$时,代数式的值最大是$-\frac{15}{8}$.

答案： 解：$\begin{aligned}x - 2x^{2}-2&=-2x^{2}+x-2\\&=-2\left(x^{2}-\frac{1}{2}x\right)-2\\&=-2\left[x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\right]-2\\&=-2\left[\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}-\frac{1}{16}\right]-2\\&=-2\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{1}{8}-2\\&=-2\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}-\frac{15}{8}\end{aligned}$
因为$a=-2\lt0$，所以当$x=\frac{1}{4}$时，代数式的值最大是$-\frac{15}{8}$。
$\frac{1}{4}$；$-\frac{15}{8}$

8. 某农场要建一个长方形的养鸡场,如图,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
(1)若养鸡场的面积为$200m^{2}$,求养鸡场靠墙的一边长.
(2)养鸡场面积能达到$250m^{2}$吗？如果能,请给出设计方案；如果不能,请说明理由.
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答案：
(1) $20m$
(2) 不能