《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边上的中点,则MP+PN的最小值是1.

答案： 解：作点M关于AC的对称点M'，连接M'N交AC于点P，此时MP+PN最小，最小值为M'N的长。
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB中点，
∴M'是AD中点。
∵N是BC中点，AD=BC=1，AD//BC，
∴AM'=CN=0.5，AM'//CN，
∴四边形AM'CN是平行四边形，
∴M'N=AC。
又
∵菱形边长为1，无法直接求出AC，但在菱形中，M'N为AD中点与BC中点连线，根据菱形性质及中位线定理，M'N=AB=1。
故MP+PN的最小值是1。
1

10. 如图,在菱形ABCD中,AB= 10,BD= 16,若M,N分别是边AD,BC上的动点,且AM= BN,作ME⊥BD,NF⊥BD,垂足分别为E,F,则ME+NF的值为6.

答案： 6

11. 如图,在菱形ABCD中,∠B= 60°,点E,F分别在边BC,CD上. 连接EF,若∠AEF= 60°,求证：AB= CE+CF.

答案： AB=CE+CF。

12. 用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD. 把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1)如图1,当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论？(直接写出结论,不用证明)
(2)如图2,当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时,你在(1)中得到的结论还成立吗？说明理由.
(3)在上述情况中,△AEC的面积是否会等于$2\sqrt{3}$？如果能,求出此时BE的长；如果不能,请说明理由.

答案：
(1) BE=CF
(2) 成立。
证明：
∵△ABC和△ACD是等边三角形，
∴AB=AC=AD，∠BAC=∠CAD=∠B=∠ACD=60°，
∴∠BAD=120°，∠ACE=∠ADF=120°。
∵∠EAF=60°，
∴∠BAD-∠EAF=∠BAE+∠DAF=60°。
∵∠BAC=60°=∠BAE+∠CAE，
∴∠CAE=∠DAF。
在△ACE和△ADF中，
∠ACE=∠ADF，AC=AD，∠CAE=∠DAF，
∴△ACE≌△ADF(ASA)，
∴CE=DF。
∵BC=CD=4，
∴BC+CE=CD+DF，即BE=CF。
(3) 能，BE=2或BE=6。
解：过点A作AG⊥BC于点G。
∵△ABC是等边三角形，边长为4，
∴BG=CG=2，AG=√(AB²-BG²)=√(4²-2²)=2√3。
① 如图1，点E在BC上时，CE=BC-BE=4-BE。
S△AEC=1/2·CE·AG=1/2·(4-BE)·2√3=√3(4-BE)。
令√3(4-BE)=2√3，解得BE=2。
② 如图2，点E在BC延长线上时，CE=BE-BC=BE-4。
S△AEC=1/2·CE·AG=1/2·(BE-4)·2√3=√3(BE-4)。
令√3(BE-4)=2√3，解得BE=6。
综上，BE=2或6。