《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,则∠AOB的度数是(D)

A.30°
B.45°
C.60°
D.90°

答案： D

2. 如图,将正方形沿图中的虚线剪去一个角后,∠1+∠2等于(D)

A.120°
B.170°
C.220°
D.270°

答案： D

3. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC的长为4,则正方形ABCD的面积为(B)

A.4
B.8
C.12
D.16

答案： B

4. 如图,四边形ABCD为正方形.△ADE为等边三角形,EF⊥AB于点F,若AD= 4,则EF= 2.

答案： 1. 首先，根据正方形和等边三角形的性质：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD = AB$，$\angle DAB = 90^{\circ}$；又因为$\triangle ADE$是等边三角形，所以$AD = AE$，$\angle DAE = 60^{\circ}$。
已知$AD = 4$，则$AE=AD = 4$。
计算$\angle EAF$的度数：$\angle EAF=\angle DAB+\angle DAE = 90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}$，那么$\angle EAF$的邻补角$\angle EAF'=180^{\circ}-\angle EAF = 30^{\circ}$（设$F'$是$EF$与$BA$延长线的交点，这里$EF\perp AB$，$\angle EFA = 90^{\circ}$）。
2. 然后，在$Rt\triangle AEF$中：
根据直角三角形中$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半的性质。
在$Rt\triangle AEF$中，$\angle EFA = 90^{\circ}$，$\angle EAF' = 30^{\circ}$，斜边$AE = 4$。
由直角三角形的性质$EF=\frac{1}{2}AE$（在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
所以$EF = 2$。

5. 如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于原点O.若点A的坐标是(2,1),则点C的坐标是(-2,-1).

答案： 解：
∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于原点O，
∴点O是AC的中点，即点A与点C关于原点O对称。
∵点A的坐标是(2,1)，
∴点C的坐标是(-2,-1)。
(-2,-1)

6. 如图,在正方形ABCD中,点E在AB边上,AF⊥DE于点G,交BC于点F.若AE= 15,CF= 5,则AF的长是 25.

答案： 25

7. 如图,已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,且AB＞CE,连接BD,BG,DE.求证：BG= DE.

答案： 证明：
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°．
∵∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，
∴∠BCG=∠DCE．
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l} BC=DC \\ ∠BCG=∠DCE \\ CG=CE \end{array}\right.$
∴△BCG≌△DCE（SAS）．
∴BG=DE．

8. 如图,四边形ABCD为正方形,点G是BC上的任意一点,分别过点B,D作BF⊥AG于点F,DE⊥AG于点E,猜想DE,EF,BF三条线段存在怎样的数量关系,并证明你的结论.

答案： 解：猜想：DE = EF + BF。
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = AD，∠BAD = 90°。
∵ BF⊥AG，DE⊥AG，
∴ ∠AFB = ∠DEA = 90°。
∵ ∠BAF + ∠DAE = 90°，∠ADE + ∠DAE = 90°，
∴ ∠BAF = ∠ADE。
在△ABF和△DAE中，
∠AFB = ∠DEA，
∠BAF = ∠ADE，
AB = DA，
∴ △ABF ≌ △DAE（AAS）。
∴ BF = AE，AF = DE。
∵ AF = AE + EF，
∴ DE = BF + EF。
结论：DE = EF + BF。