《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. 对于有理数$a$,$b$,作出以下规定：当$a\geq b$时,$\min\{a,b\}= b$；当$a\leq b$时,$\min\{a,b\}= a$.若$\min\{13,-6m + 4n - m^{2}-n^{2}\}= 13$,则$m^{n}$的值为9.

答案： 9

10. 已知一等腰三角形的两边长分别为$x和y$($x≠y$),且$x和y的关系满足x^{2}-8x + y^{2}-12y + 52= 0$,则这个等腰三角形的面积为$3\sqrt{7}$或$8\sqrt{2}$.

答案： 解：$x^{2}-8x + y^{2}-12y + 52= 0$
配方得$(x-4)^{2}+(y-6)^{2}=0$
则$x-4=0$，$y-6=0$，解得$x=4$，$y=6$
情况一：腰长为4，底边长为6
底边上的高$h=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$
面积$S=\frac{1}{2}×6×\sqrt{7}=3\sqrt{7}$
情况二：腰长为6，底边长为4
底边上的高$h=\sqrt{6^{2}-2^{2}}=4\sqrt{2}$
面积$S=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
$3\sqrt{7}$或$8\sqrt{2}$

11. 大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时,都要先把二次项系数化为1,再进行配方,现请你阅读如下方程,并按照此方法解方程.
示例：$2x^{2}-2\sqrt{2}x - 3= 0$.
解：$2x^{2}-2\sqrt{2}x - 3= 0$,
$(\sqrt{2}x)^{2}-2\sqrt{2}x + 1= 3 + 1$,
$(\sqrt{2}x - 1)^{2}= 4$,
$\sqrt{2}x - 1= \pm2$,
$x_{1}= -\frac{\sqrt{2}}{2}$,$x_{2}= \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
解方程：$3x^{2}-2\sqrt{6}x= 2$.

答案： 解：$3x^{2}-2\sqrt{6}x=2$，
$(\sqrt{3}x)^{2}-2\sqrt{6}x + 2=2 + 2$，
$(\sqrt{3}x - \sqrt{2})^{2}=4$，
$\sqrt{3}x - \sqrt{2}=\pm2$，
$x_{1}=\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{3}$，$x_{2}=\frac{\sqrt{6}-2\sqrt{3}}{3}$。

12. ▶中考热点·材料阅读 请阅读以下材料,并解决问题：
配方法是数学中一种重要的思想方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数恒等变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题.
例1：把二次三项式$x^{2}-2x - 3$进行配方.
解：$x^{2}-2x - 3= (x^{2}-2x + 1)-4= (x - 1)^{2}-4$.
例2：已知$4x^{2}+4x + y^{2}-6y + 10= 0$,求$x和y$的值.
解：由已知,得
$(4x^{2}+4x + 1)+(y^{2}-6y + 9)= 0$,
即$(2x + 1)^{2}+(y - 3)^{2}= 0$,
∴$2x + 1= 0$,$y - 3= 0$,
∴$x= -\frac{1}{2}$,$y = 3$.
(1)若$x^{2}-4x + 5可配方成(x - m)^{2}+n$($m$,$n$为常数)的形式,求$m和n$的值.
(2)已知实数$x$,$y满足x^{2}+3x + y - 5= 0$,求$x + y$的最大值.
(3)已知$a$,$b$,$c$为正实数,且满足$a^{2}+ac + ab - b^{2}= 0和b^{2}+ba - ca - c^{2}= 0$,试判断以$b$,$c$,$a + b$为三边的三角形的形状,并说明理由.

答案：
(1)解：$x^{2}-4x + 5=(x^{2}-4x + 4)+1=(x - 2)^{2}+1$，
$\because x^{2}-4x + 5=(x - m)^{2}+n$，
$\therefore m=2$，$n=1$。
(2)解：由$x^{2}+3x + y - 5=0$得$y=-x^{2}-3x + 5$，
$\therefore x + y=x + (-x^{2}-3x + 5)=-x^{2}-2x + 5$，
$-x^{2}-2x + 5=-(x^{2}+2x)+5=-(x^{2}+2x + 1 - 1)+5=-(x + 1)^{2}+6$，
$\because -(x + 1)^{2}\leq0$，
$\therefore x + y$的最大值为$6$。
(3)解：以$b$，$c$，$a + b$为三边的三角形是直角三角形，理由如下：
由$a^{2}+ac + ab - b^{2}=0$得$a^{2}+a(b + c)=b^{2}$①，
由$b^{2}+ba - ca - c^{2}=0$得$b^{2}+a(b - c)=c^{2}$②，
① - ②得$a(b + c)-a(b - c)=b^{2}-c^{2}$，
$a(b + c - b + c)=b^{2}-c^{2}$，
$2ac=(b - c)(b + c)$③，
由②得$b^{2}-c^{2}=a(c - b)$，即$(b - c)(b + c)=a(c - b)$④，
将③代入④得$2ac=a(c - b)$，
$\because a$为正实数，$\therefore 2c=c - b$，即$b=-c$（舍去）或$2c = -(b - c)$，
$2c=-b + c$，得$b=-c$（舍去），或由$b^{2}+ba - ca - c^{2}=0$移项得$b^{2}-c^{2}=a(c - b)$，
$(b - c)(b + c)=-a(b - c)$，
$\because b$，$c$为正实数，若$b\neq c$，则$b + c=-a$（舍去），$\therefore b = c$，
将$b = c$代入①得$a^{2}+a(b + b)=b^{2}$，$a^{2}+2ab - b^{2}=0$，解得$a=\frac{-2b\pm\sqrt{4b^{2}+4b^{2}}}{2}=\frac{-2b\pm2b\sqrt{2}}{2}=-b\pm b\sqrt{2}$，
$\because a$为正实数，$\therefore a=-b + b\sqrt{2}=b(\sqrt{2}-1)$，
$\therefore (a + b)^{2}=(b(\sqrt{2}-1)+b)^{2}=(b\sqrt{2})^{2}=2b^{2}$，
$b^{2}+c^{2}=b^{2}+b^{2}=2b^{2}$，
$\therefore (a + b)^{2}=b^{2}+c^{2}$，
$\therefore$以$b$，$c$，$a + b$为三边的三角形是直角三角形。