《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. 中考热点·新定义 对某一函数给出如下定义:如果存在常数M,对于任意的函数值y,都满足$y\leq M$,那么称这个函数是有上界函数;在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的上确界.例如函数$y= -(x+1)^2+2$,$y\leq2$,因此是有上界函数,其上确界是2.如果函数$y= -x^2-2x+m$的上确界是5,则m的值为4.

答案： $4$

10. 已知抛物线$y= ax^2-2ax+b(a＞0)$经过A$(2n+3,y_1)$,B$(n-1,y_2)$两点,若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧,且$y_1＜y_2$,则n的取值范围是$-1＜n＜\frac{1}{3}$.

答案： $-1＜n＜\frac{1}{3}$

11. 如图,已知抛物线$y= 2x^2+4x-6$与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,与y轴交于点C,抛物线的对称轴l与x轴相交于点D.
(1)求点A,B,C的坐标.
(2)若点E为坐标平面内一点,且AE= BE= CE,求点E的坐标.

答案： 本题按照上述步骤完成，无选择项。

12. 中考热点·操作探究 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观.
【科学原理】如图,始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位:cm),如果在离水面竖直距离为h(单位:cm)的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位:cm)与h的关系为$s^2= 4h(H-h)$.
【应用思考】现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连续注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距离h cm处开一个小孔.
(1)写出$s^2$与h的关系式;并求出当h为何值时,射程s有最大值,最大射程是多少.
(2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为a,b,要使两孔射出水的射程相同,求a,b之间的关系式.
(3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16 cm,求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离.

答案：
(1) 解：由题意知 $ H = 20 $，则 $ s^2 = 4h(20 - h) = -4h^2 + 80h $。
$ s^2 = -4(h^2 - 20h) = -4(h - 10)^2 + 400 $。
当 $ h = 10 $ 时，$ s^2 $ 最大为 400，$ s = 20 $。
即当 $ h = 10 $ cm 时，射程 $ s $ 最大，最大射程是 20 cm。
(2) 解：由题意得 $ 4a(20 - a) = 4b(20 - b) $，
化简得 $ a(20 - a) = b(20 - b) $，
$ 20a - a^2 = 20b - b^2 $，
$ a^2 - b^2 - 20a + 20b = 0 $，
$ (a - b)(a + b) - 20(a - b) = 0 $，
$ (a - b)(a + b - 20) = 0 $。
因为 $ a \neq b $，所以 $ a + b = 20 $。
(3) 解：设垫高高度为 $ x $ cm，则新 $ H = 20 + x $，最大射程为 $ 20 + 16 = 36 $ cm。
最大射程时 $ h = \frac{H}{2} $，$ s = \sqrt{4 \cdot \frac{H}{2} \cdot \frac{H}{2}} = H $，
所以 $ 20 + x = 36 $，$ x = 16 $，此时 $ h = \frac{20 + 16}{2} = 18 $ cm。
即垫高高度为 16 cm，小孔离水面竖直距离为 18 cm。