《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

7. 某书店扶梯的坡度$i= 1:\sqrt{3}$,王老师乘扶梯从扶梯底端以$0.5$米/秒的速度用时$40$秒到达扶梯顶端,则王老师上升的铅直高度为10米.

答案： 10

8. 速滑运动受到许多年轻人的喜爱. 如图,四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台,已知$CD// EG$,滑台的高DG为$5\ m$,且坡面BC的坡度为$1:1$. 后来为了提高安全性,决定降低坡度,改造后的新坡面AC的坡度为$1:\sqrt{3}$.
(1)求新坡面AC的坡角及AC的长.
(2)原坡面底部BG的正前方$10\ m$处($EB= 10$)是护墙EF,为保证安全,体育管理部门规定,坡面底部至少距护墙$7\ m$. 请问新的设计方案能否通过,试说明理由.(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)

答案：
(1)设新坡面AC的坡角为α，因为AC的坡度为1:√3，所以tanα=1/√3=√3/3，α=30°。
由于CD//EG，DG为滑台的高且DG=5m，所以点C到地面EG的垂直距离为5m，即AC的垂直高度h=5m。
在Rt△ACH中（H为垂足），sinα=h/AC，AC=h/sinα=5/sin30°=5/(1/2)=10m。
(2)原坡面BC的坡度为1:1，其垂直高度也为5m，所以BC的水平距离为5m，即BG=5m。
新坡面AC的水平距离：在Rt△ACH中，tanα=h/CH，CH=h/tanα=5/(√3/3)=5√3≈5×1.73=8.65m，即AG=8.65m。
因为EB=10m，所以新坡面底部A到护墙EF的距离为EA=EB - AG=10 - 8.65=1.35m。
由于1.35m＜7m，所以新的设计方案不能通过。
(1)新坡面AC的坡角为30°，AC的长为10m；
(2)新的设计方案不能通过。

9. 为了美化环境,提高民众的生活质量,市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE,并沿湖泊修建了人行步道. 如图,点C在点A的正东方向$170$米处,点E在点A的正北方向,A点B,D都在点C的正北方向,BD的长为$100$米,点B在点A的北偏东$30^{\circ}$方向,点D在点E的北偏东$58^{\circ}$方向.
(1)求步道DE的长度.
(2)点D处有一个小商店,某人从点A出发沿人行步道去商店购物,可以经点B到达点D,也可以经点E到达点D,请通过计算说明他走哪条路较近.(结果精确到个位,参考数据:$\sin58^{\circ}\approx0.85$,$\cos58^{\circ}\approx0.53$,$\tan58^{\circ}\approx1.60$,$\sqrt{3}\approx1.73$)

答案： 经点$E$到达点$D$这条路较近。