《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,D是$\triangle ABC$的边BC上一点,连接AD,使$\triangle ABC\backsim\triangle DBA$的条件是 (D)

A.$AC:BC= AD:BD$
B.$AC:BC= AB:AD$
C.$AB^{2}= CD\cdot BC$
D.$AB^{2}= BD\cdot BC$

答案： D

2. 如图,点D在$\triangle ABC$的AB边上,当$\frac{AD}{AC}= $$\frac{AC}{AB}$时,$\triangle ACD与\triangle ABC$相似。

答案： 解：
∵ ∠A=∠A（公共角）
要使△ACD∽△ABC，需满足夹公共角的两边对应成比例，即 $\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$
$\frac{AC}{AB}$

3. 如图,已知$\frac{AD}{AB}= \frac{DE}{BC}$。请添加一个条件,使$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$,这个条件可以是$\angle ADE = \angle ABC$（或$\angle AED = \angle ACB$）。(写出一个条件即可)

答案： 解：$\angle ADE = \angle ABC$（或$\angle AED = \angle ACB$）

4. 在$\triangle ABC和\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$中,$\angle A= \angle A_{1}$,$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}= \frac{AC}{A_{1}C_{1}}$,可得出$\triangle ABC$$\backsim$$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$,理由是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

答案： $\triangle ABC \backsim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，理由是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

5. 如图,点D为$\triangle ABC$外一点,连接AD与边BC相交于点E,AE= 3,DE= 5,BE= 4,若$\triangle BDE\backsim\triangle ACE$,则线段CE的长为$\frac{15}{4}$。

答案： $\frac{15}{4}$

6. 如图,在平行四边形ABCD中,AB= 10,AD= 6,E是AD的中点,在AB上取一点F,当BF= 1.8时,$\triangle CBF\backsim\triangle CDE$。

答案： 1.8

7. 如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE= 3,EC= 6,CF= 2。求证：$\triangle ABE\backsim\triangle ECF$。

答案： 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC。
∵BE=3，EC=6，
∴BC=BE+EC=3+6=9，
∴AB=BC=9。
∵CF=2，
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$。
又
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECF。

8. 如图,在$\triangle ABC$中,AB= 8 cm,BC= 16 cm,点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动,如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么经过几秒$\triangle PBQ与\triangle ABC$相似？试说明理由。

答案： 解：设经过 $ t $ 秒 $ \triangle PBQ $ 与 $ \triangle ABC $ 相似。
由题意得：$ AP = 2t \, cm $，$ BQ = 4t \, cm $
$ \because AB = 8 \, cm $
$ \therefore PB = AB - AP = (8 - 2t) \, cm $
$ \because $ 点 $ P $ 在 $ AB $ 上，点 $ Q $ 在 $ BC $ 上
$ \therefore 0 ＜ t ＜ 4 $（$ P $ 不与 $ A,B $ 重合，$ Q $ 不与 $ B,C $ 重合）
在 $ \triangle PBQ $ 和 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle B = \angle B $
情况1：当 $ \dfrac{PB}{AB} = \dfrac{BQ}{BC} $ 时
$ \dfrac{8 - 2t}{8} = \dfrac{4t}{16} $
化简得：$ \dfrac{8 - 2t}{8} = \dfrac{t}{4} $
$ 4(8 - 2t) = 8t $
$ 32 - 8t = 8t $
$ 16t = 32 $
$ t = 2 $
$ t = 2 $ 在 $ 0 ＜ t ＜ 4 $ 范围内，符合题意。
情况2：当 $ \dfrac{PB}{BC} = \dfrac{BQ}{AB} $ 时
$ \dfrac{8 - 2t}{16} = \dfrac{4t}{8} $
化简得：$ \dfrac{8 - 2t}{16} = \dfrac{t}{2} $
$ 2(8 - 2t) = 16t $
$ 16 - 4t = 16t $
$ 20t = 16 $
$ t = 0.8 $
$ t = 0.8 $ 在 $ 0 ＜ t ＜ 4 $ 范围内，符合题意。
综上，经过 $ 0.8 $ 秒或 $ 2 $ 秒时，$ \triangle PBQ $ 与 $ \triangle ABC $ 相似。
答：经过 $ 0.8 $ 秒或 $ 2 $ 秒。