《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

8. ▶中考热点·创新题型 如图,已知四个点A$(0,1)$,B$(2,1)$,C$(4,1)$,D$(3,0)$,数学活动课中同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图象,并得到对应的函数表达式$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$.

(1)对应的函数表达式有4个；
(2)所有函数表达式中$a+b+c$的最大值是4.

答案：
(1) 4
(2) 解：设二次函数表达式为$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$。
情况1：过A、B、D三点。
$\begin{cases} c = 1 \\ 4a + 2b + c = 1 \\ 9a + 3b + c = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = -1 \\ b = 2 \\ c = 1 \end{cases}$，$a + b + c = -1 + 2 + 1 = 2$
情况2：过A、C、D三点。
$\begin{cases} c = 1 \\ 16a + 4b + c = 1 \\ 9a + 3b + c = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = \frac{1}{3} \\ b = -\frac{4}{3} \\ c = 1 \end{cases}$，$a + b + c = \frac{1}{3} - \frac{4}{3} + 1 = 0$
情况3：过B、C、D三点。
$\begin{cases} 4a + 2b + c = 1 \\ 16a + 4b + c = 1 \\ 9a + 3b + c = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 1 \\ b = -6 \\ c = 9 \end{cases}$，$a + b + c = 1 - 6 + 9 = 4$
情况4：过A、B、C三点，因三点共线，无法构成二次函数，舍去。
最大值为4。
4

9. 如图,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为$(-1,0)$,且$OA= OC= 4OB$,抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象经过A,B,C三点.

(1)求A,C两点的坐标.
(2)求抛物线的表达式.
(3)若点P是直线AC下方抛物线上的一个动点,作$PD\perp AC$于点D,当PD的值最大时,求点P的坐标及PD的最大值.

答案：
(1) 解：
∵点B的坐标为(-1,0)，
∴OB=1。
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4。
∵点A在x轴正半轴，点C在y轴负半轴，
∴A(4,0)，C(0,-4)。
(2) 解：设抛物线表达式为y=ax²+bx+c。
将A(4,0)，B(-1,0)，C(0,-4)代入得：
$\begin{cases}16a+4b+c=0\\a-b+c=0\\c=-4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=-3\\c=-4\end{cases}$
∴抛物线表达式为y=x²-3x-4。
(3) 解：设直线AC的表达式为y=kx+d。
将A(4,0)，C(0,-4)代入得：
$\begin{cases}4k+d=0\\d=-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\d=-4\end{cases}$
∴直线AC：y=x-4。
设P(m,m²-3m-4)(0＜m＜4)，过P作PE⊥x轴交AC于E，则E(m,m-4)。
PE=(m-4)-(m²-3m-4)=-m²+4m。
∵直线AC的k=1，
∴∠CAO=45°，PD=PE·sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}(-m²+4m)$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}(m-2)²+2\sqrt{2}$。
当m=2时，PD最大为2$\sqrt{2}$，此时P(2,-6)。
∴点P的坐标为(2,-6)，PD的最大值为2$\sqrt{2}$。

10. ▶中考压轴·存在型 如图,抛物线$y= ax^{2}+bx+6$经过A$(-2,0)$,B$(4,0)$两点,与y轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m$(1＜m＜4)$,连接BC,DB,DC.

(1)求抛物线的表达式.
(2)$\triangle BCD$的面积是否存在最大值?若存在,求此时点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)解：
∵抛物线$y=ax^{2}+bx+6$经过$A(-2,0)$，$B (4,0)$
$\therefore \left\{\begin{array}{l} 4a-2b+6=0\\ 16a+4b+6=0\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} a=-\frac {3}{4}\\ b=\frac {3}{2}\end{array}\right. $
$\therefore y=-\frac {3}{4}x^{2}+\frac {3}{2}x+6$
(2)解：存在
当$x=0$时，$y=6$，$\therefore C(0,6)$
设直线$BC$解析式为$y=kx+6$
将$B(4,0)$代入得$4k+6=0$，$k=-\frac {3}{2}$
$\therefore y=-\frac {3}{2}x+6$
过点$D$作$DE// y$轴交$BC$于点$E$
$\because D(m,-\frac {3}{4}m^{2}+\frac {3}{2}m+6)$，$\therefore E(m,-\frac {3}{2}m+6)$
$DE=(-\frac {3}{4}m^{2}+\frac {3}{2}m+6)-(-\frac {3}{2}m+6)=-\frac {3}{4}m^{2}+3m$
$S_{\triangle BCD}=\frac {1}{2}× DE× (x_{B}-x_{C})=\frac {1}{2}× (-\frac {3}{4}m^{2}+3m)× 4=-\frac {3}{2}m^{2}+6m=-\frac {3}{2}(m-2)^{2}+6$
$\because 1\lt m＜4$，$a=-\frac {3}{2}＜0$
$\therefore m=2$时，$S_{\triangle BCD}$最大，此时$D(2,6)$
(3)存在，$M_{1}(6,0)$，$M_{2}(2,0)$，$M_{3}(-2,0)$，$M_{4}(0,0)$