《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是 (D)
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形

答案： D

2. 如图,已知四边形ABCD中,$\angle BAD= \angle ABC= \angle BCD= 90°$,下列条件能使四边形ABCD成为正方形的是 (D)

A.$AC= BD$
B.$AB\perp BC$
C.$AD= BC$
D.$AC\perp BD$

答案： D

3. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件,能使菱形ABCD成为正方形的是 (A)

A.$AC= BD$
B.$AC\perp BD$
C.$AD= AB$
D.AC平分$\angle DAB$

答案： A

4. 已知矩形ABCD,请添加一个条件：答案不唯一，如$AB=BC$,使得矩形ABCD成为正方形.

答案： 答案不唯一，如$AB=BC$

5. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC= 90^\circ$,点D是AB的中点,$AD= BC$.过点D作$DE\perp AB且DE= BD$,连接CE.求证：四边形BCED是正方形.

答案： 证明：
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD。
∵AD=BC，
∴BD=BC。
∵DE⊥AB，∠ABC=90°，
∴∠EDB=∠ABC=90°，
∴DE//BC。
∵DE=BD，BD=BC，
∴DE=BC。
∴四边形BCED是平行四边形。
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形BCED是矩形。
∵BD=BC，
∴矩形BCED是正方形。

6. 如图,四边形ABCD中,$AD= DC$,$\angle ADC= \angle ABC= 90°$,$DE\perp AB$,若四边形ABCD的面积为16,则DE的长为 (C)

A.3
B.2
C.4
D.8

答案： C

7. 如图,已知四边形ABCD和CEFG均是正方形,点K在BC上,延长CD到点H,使$DH= BK= CE$,连接AK,KF,HF,AH.
(1)求证：$AK= AH$.
(2)求证：四边形AKFH是正方形.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADH=90°，BC=CD，
∵BK=DH，
∴△ABK≌△ADH(SAS)，
∴AK=AH．
(2)证明：
∵四边形ABCD和CEFG均是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，CG=CE=EF=FG，∠BCD=∠GCE=90°，
∵BK=CE，
∴BC-BK=CD-DH，即KC=HD，
∵CE=CG，BK=CE，
∴BK=CG，
∵∠KCF=∠GCE=90°，
∴∠KCF=∠HDC=90°，
∵DH=CG，
∴△KCF≌△HDC(SAS)，
∴KF=HC，∠KFC=∠HCD，
∵△ABK≌△ADH，
∴∠BAK=∠DAH，AK=AH，
∵∠BAK+∠KAD=90°，
∴∠DAH+∠KAD=90°，即∠KAH=90°，
∵∠HCD+∠HCF=90°，∠KFC=∠HCD，
∴∠KFC+∠HCF=90°，即∠KFH=90°，
∵HC=HF+FC，KF=HC，AK=AH，
∴AK=KF=FH=AH，
∵∠KAH=90°，
∴四边形AKFH是正方形．

8. 如图,E,F是正方形ABCD边上的两点,$EF= 2\sqrt{3}$,以EF为边在正方形内作矩形EFGH,$EH= 2$.若矩形EFGH在正方形内可随线段EF进行自由滑动,则正方形的边长的最小值为4.

答案： $ 4 $