《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 下列方程是一元二次方程的是 (C)
A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$x + \frac{1}{x} = 2$
C.$2(x - 1)^2 = 4$
D.$x^3 + x = 1$

答案： C

2. 已知关于x的方程$(m + \sqrt{3})x^{m^2 - 1} + 2(m - 1)x - 1 = 0$.
(1)m为$\sqrt{3}$时,它是一元二次方程.
(2)m为$\pm\sqrt{2}$或$-\sqrt{3}$或$-1$时,它是一元一次方程.

答案：
(1)$\sqrt{3}$
(2)$\pm\sqrt{2}$或$-\sqrt{3}$或$-1$

3. 用适当的方法解一元二次方程：
(1)$3x(x - 2) = 2(2 - x)$；
(2)$x^2 - 399 = 2x$；
(3)$x^2 - x - 1 = 0$；
(4)$(xx^2 + x)^2 + (x^2 + x) = xx6.$

答案：
(1) $x_{1} = 2, x_{2} = -\frac{2}{3}$
(2) $x_{1} = 21, x_{2} = -19$
(3) $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$
(4) $x_{1} = 1, x_{2} = -2$

4. 若关于,x'的方程$mx^2 - 2x + 3 = 0$有两个不相等的实数根,则m'的值范围是$m＜\frac{1}{3}$且$m\neq0$

答案： 1. 首先，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
已知方程$mx^{2}-2x + 3 = 0$有两个不相等的实数根，所以此方程是一元二次方程，那么二次项系数$m\neq0$。
又因为判别式$\Delta＞0$，在方程$mx^{2}-2x + 3 = 0$中，$a = m$，$b=-2$，$c = 3$。
根据判别式公式$\Delta=b^{2}-4ac$，可得$\Delta=(-2)^{2}-4× m×3$。
2. 然后，解不等式$\Delta＞0$：
由$\Delta=(-2)^{2}-4× m×3＞0$，即$4 - 12m＞0$。
移项可得$-12m＞-4$。
两边同时除以$-12$，根据不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，得$m＜\frac{1}{3}$。
综上，$m$的取值范围是$m＜\frac{1}{3}$且$m\neq0$。

5. 已知关于x的一元二次方程$'x^2 - (m - 3)x - m = 0$.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两个实根为$x_1,x_2$,且$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 7$,求m的值'

答案：
(1)证明：$\Delta = [-(m - 3)]^2 - 4 × 1 × (-m) = m^2 - 6m + 9 + 4m = m^2 - 2m + 9 = (m - 1)^2 + 8$。
因为$(m - 1)^2 \geq 0$，所以$(m - 1)^2 + 8 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
(2)解：由韦达定理得$x_1 + x_2 = m - 3$，$x_1x_2 = -m$。
$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = (m - 3)^2 - 3(-m) = m^2 - 6m + 9 + 3m = m^2 - 3m + 9$。
令$m^2 - 3m + 9 = 7$，则$m^2 - 3m + 2 = 0$，$(m - 1)(m - 2) = 0$，解得$m_1 = 1$，$m_2 = 2$。
所以$m$的值为1或2。

6. ▶中考热点·创新题型 如图'空地上有一段长为a米的旧墙AB',工人师傅欲利用旧墙木栅栏围成一个封闭的长方形菜园,已知木栅栏总长为40米,所围成'的长方形菜园的面积为S平方米.若$a = 18,S = 194$,则
(A)

A.有一种围法
B.有两种围法
C.不能围成菜园
D.无法确定有几种围法

答案： A

7. 某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式'(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?设应邀请x支球队参赛,可列出方程$\frac{x(x-1)}{2} = 21$

答案： 方程为$\frac{x(x-1)}{2} = 21$。

8. 某品牌运动服原来每件售价640元,经过两次降价,售价降低了280元,若两次降价的百分率相同',则每次降价的百分率为25%

答案： 解：设每次降价的百分率为$x$。
第一次降价后的售价为$640(1 - x)$元，第二次降价后的售价为$640(1 - x)^2$元。
依题意，得$640 - 640(1 - x)^2 = 280$，
整理得$640(1 - x)^2 = 360$，
即$(1 - x)^2 = 0.5625$，
开平方得$1 - x = \pm0.75$，
解得$x_1 = 0.25 = 25\%$，$x_2 = 1.75$（不合题意，舍去）。
答：每次降价的百分率为$25\%$。