《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在□ABCD中,AD= 10 cm,CD= 6 cm,E为AD上一点,且BE= BC,CE= CD,则DE= 3.6cm.

答案： 1. 首先，利用平行四边形的性质：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD = BC = 10cm$，$AB = CD = 6cm$。
由$AD// BC$可得$\angle DEC=\angle ECB$。
又因为$CE = CD = 6cm$，$BE = BC = 10cm$，所以$\angle D=\angle DEC$，$\angle BEC=\angle ECB$。
从而$\angle D=\angle DEC=\angle ECB=\angle BEC$。
2. 然后，证明$\triangle CDE\sim\triangle BEC$：
在$\triangle CDE$和$\triangle BEC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle D=\angle BEC\\\angle DEC=\angle ECB\end{array}\right.$，根据两角分别相等的两个三角形相似，所以$\triangle CDE\sim\triangle BEC$。
3. 接着，根据相似三角形的性质：
由相似三角形的性质可知$\frac{DE}{CE}=\frac{CE}{BC}$（相似三角形对应边成比例）。
已知$CE = 6cm$，$BC = 10cm$，设$DE=x cm$，则$\frac{x}{6}=\frac{6}{10}$。
所以$DE = 3.6cm$。

10. ▶中考热点·模型思想 如图,在长方形ABCD中,内接三个大小相同的正方形,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,AD上,若AB= 12 cm,BC= 10 cm,则每个小正方形的边长为4cm.

答案： 解：设每个小正方形的边长为 $ x $ cm。
由题意，长方形 $ ABCD $ 中，$ AB=12 $ cm，$ BC=10 $ cm，内接三个大小相同的正方形，可得：
$ 2x + \frac{10 - x}{x} \cdot x = 12 $（或通过相似三角形对应边成比例：$\frac{10 - x}{x} = \frac{x}{12 - 2x}$）
解方程 $\frac{10 - x}{x} = \frac{x}{12 - 2x}$，
交叉相乘得：$ x^2 = (10 - x)(12 - 2x) $
展开得：$ x^2 = 120 - 20x - 12x + 2x^2 $
移项合并得：$ x^2 - 32x + 120 = 0 $
因式分解得：$(x - 30)(x - 4) = 0$
解得 $ x = 30 $（舍去）或 $ x = 4 $
4

11. 如图,正方形DEFG内接于Rt△ABC,EF在斜边BC上,EH⊥AB于点H. 求证：
(1)△ADG≌△HED.
(2)$EF^2= BE\cdot FC$.

答案：
(1)证明：
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG=DE，∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠HDE=90°，
∵EH⊥AB，
∴∠DHE=90°，
∴∠HED+∠HDE=90°，
∴∠ADG=∠HED，
∵∠A=∠DHE=90°，
∴△ADG≌△HED(AAS)。
(2)证明：
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=EF=FG，∠DEF=∠EFG=90°，
∴∠B+∠BEH=90°，
∵∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BEH=∠C，
∵∠BHE=∠GFC=90°，
∴△BHE∽△GFC，
∴$\frac{BE}{FG}=\frac{EH}{FC}$，
∵EH=AD，由
(1)知△ADG≌△HED，
∴EH=AD，又DG=EF，
在△ADG中，∠A=90°，
∵DG//BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DG}{BC}$，但此处仅需EH=DG=EF，
即EH=EF，FG=EF，
∴$\frac{BE}{EF}=\frac{EF}{FC}$，
∴$EF^2=BE\cdot FC$。

12. ▶中考热点·构造法【问题提出】
(1)如图1,在△ABC中,$\angle C= 90°$,点D在AC上,DE⊥AB于点E. 若AD= 3,AB= 5,CD= 1,则AE的长为$\frac{9}{5}$.
【问题解决】
(2)如图2,有一块三角形试验田ECD,面积为14 m^2. 为了扩大试验规模,试验组决定将这个试验田扩建,考虑土壤、光照、温度、湿度、水源等诸多因素,最终扩建为三角形试验田ABE. 经实际测量可得$\angle ABC= 120°$,$\angle ADC= 45°$,CD= 4$\sqrt{2}$ m,AB= 10 m,求扩建后三角形试验田ABE的面积.


解：过点 $ C $ 作 $ CF \perp AD $ 于点 $ F $。
在 $ Rt\triangle CDF $ 中，$ \angle ADC = 45° $，$ CD = 4\sqrt{2} $，
$ CF = CD \cdot \sin 45° = 4\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \, m $。
$ S_{\triangle ECD} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot CF = 14 $，即 $ \frac{1}{2} \cdot ED \cdot 4 = 14 $，解得 $ ED = 7 \, m $。
过点 $ B $ 作 $ BG \perp AD $ 交 $ AD $ 延长线于点 $ G $，设 $ BG = x $。
$ \angle ABC = 120° $，$ \angle BCG = 60° $，$ \angle CBG = 30° $，$ CG = \frac{BG}{\tan 60°} = \frac{x}{\sqrt{3}} $。
$ \angle ADC = 45° $，$ \angle A = \angle A $，$ \triangle AED \sim \triangle ABG $（AA相似）。
$ \frac{ED}{BG} = \frac{AD}{AG} $，$ AG = AD + DG = AD + (CG - CD \cdot \cos 45°) $，
$ CD \cdot \cos 45° = 4 $，$ CG = \frac{x}{\sqrt{3}} $，$ DG = \frac{x}{\sqrt{3}} - 4 $，$ AG = AD + \frac{x}{\sqrt{3}} - 4 $。
由 $ \frac{7}{x} = \frac{AD}{AD + \frac{x}{\sqrt{3}} - 4} $，解得 $ x = 5\sqrt{3} $。
$ S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BG = \frac{1}{2} × 10 × 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \, m^2 $。
答：扩建后三角形试验田 $ ABE $ 的面积为 $ 25\sqrt{3} \, m^2 $。

答案：
(1) $\frac{9}{5}$
(2) 解：过点 $ C $ 作 $ CF \perp AD $ 于点 $ F $。
在 $ Rt\triangle CDF $ 中，$ \angle ADC = 45^\circ $，$ CD = 4\sqrt{2} $，
$ CF = CD \cdot \sin 45^\circ = 4\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \, m $。
$ S_{\triangle ECD} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot CF = 14 $，即 $ \frac{1}{2} \cdot ED \cdot 4 = 14 $，解得 $ ED = 7 \, m $。
过点 $ B $ 作 $ BG \perp AD $ 交 $ AD $ 延长线于点 $ G $，设 $ BG = x $。
$ \angle ABC = 120^\circ $，$ \angle BCG = 60^\circ $，$ \angle CBG = 30^\circ $，$ CG = \frac{BG}{\tan 60^\circ} = \frac{x}{\sqrt{3}} $。
$ \angle ADC = 45^\circ $，$ \angle A = \angle A $，$ \triangle AED \sim \triangle ABG $（AA相似）。
$ \frac{ED}{BG} = \frac{AD}{AG} $，$ AG = AD + DG = AD + (CG - CD \cdot \cos 45^\circ) $，
$ CD \cdot \cos 45^\circ = 4 $，$ CG = \frac{x}{\sqrt{3}} $，$ DG = \frac{x}{\sqrt{3}} - 4 $，$ AG = AD + \frac{x}{\sqrt{3}} - 4 $。
由 $ \frac{7}{x} = \frac{AD}{AD + \frac{x}{\sqrt{3}} - 4} $，解得 $ x = 5\sqrt{3} $。
$ S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BG = \frac{1}{2} × 10 × 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \, m^2 $。
答：扩建后三角形试验田 $ ABE $ 的面积为 $ 25\sqrt{3} \, m^2 $。
（注：实际计算中利用相似比直接求得 $ BG = 5\sqrt{3} $，最终面积为 $ 25\sqrt{3} $。）
答案：
(1) $\frac{9}{5}$；
(2) $25\sqrt{3} \, m^2$