《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,二次函数$y= ax^2+k$的图象可能是(A)

答案： A

2. 下列关于抛物线$y= -x^2+2$的说法正确的是(D)
A.抛物线开口向上
B.当$x= 0$时,$y$有最小值2
C.在对称轴的右侧,$y随x$的增大而增大
D.抛物线与$x$轴有两个交点

答案： D

3. 已知点$A(1,y_1)$,$B(2,y_2)在抛物线y= -x^2+1$上,则下列表述正确的是(D)
A.$y_1＜0$
B.$y_2＞0$
C.$y_1+y_2＞0$
D.$y_1＞y_2$

答案： D

4. 如图,将二次函数$y= x^2-4$位于x轴的下方的图象沿x轴翻折,得到一个新函数的图象(实线部分). 当新函数中函数$y随x$的增大而增大时,自变量$x$的最值范围是$-2 \leq x \leq 0$或$x ＞ 2$.

答案： 解：1. 求原函数与x轴交点：令$y=0$，则$x^2 - 4 = 0$，解得$x = \pm 2$，交点为$(-2,0)$，$(2,0)$。
2. 分析翻折部分：原函数$y = x^2 - 4$在$x$轴下方的部分为$-2 ＜ x ＜ 2$，沿$x$轴翻折后，解析式变为$y = -x^2 + 4$（$-2 \leq x \leq 2$），开口向下，对称轴为$y$轴。
3. 分析新函数增减性：
当$x ＜ -2$或$x ＞ 2$时，新函数为原函数$y = x^2 - 4$，开口向上，对称轴为$y$轴，此时$y$随$x$增大而增大的范围是$x ＞ 2$。
当$-2 \leq x \leq 2$时，新函数为$y = -x^2 + 4$，开口向下，对称轴为$y$轴，此时$y$随$x$增大而增大的范围是$-2 \leq x \leq 0$。
4. 综上，自变量$x$的取值范围是$-2 \leq x \leq 0$或$x ＞ 2$。
$-2 \leq x \leq 0$或$x ＞ 2$

5. 把$y= -\frac{1}{2}x^2$的图象向上平移2个单位长度.
(1)求新图象的表达式、顶点坐标和对称轴.
(2)求平移后的函数的最大值或最小值,并求对应的$x$的值.

答案：
(1) 新图象表达式为 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2$，顶点坐标为 $(0, 2)$，对称轴为 $x = 0$。
(2) 最大值为 $2$，对应的 $x$ 值为 $0$。

6. 已知抛物线$y= -x^2+c经过点(-2,a)和点(2,b)$.
(1)写出该抛物线的对称轴,并直接写出$a$,$b$的大小关系.
(2)若该抛物线经过点$A(3,-5)$.
①求$c$的值；
②当$-1＜x＜2$时,求$y$的取值范围.

答案：
(1) 对称轴为 $ x = 0 $，$ a = b $；
(2) ① $ c = 4 $；② $ 0 ＜ y \leq 4 $。

7. 如图,平面直角坐标系中,矩形$ABCO的边OA$,$OC$分别在坐标轴上,$OA= 2$,$OC= 1$,以点$A为顶点的抛物线经过点C$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)将矩形$ABCO绕点A$旋转,得到矩形$AB'C'O'$,使点$C'落在x$轴上,抛物线是否经过点$C'$？请说明理由.

答案：
(1)解：由题意得，点A坐标为(0,2)，点C坐标为(-1,0)。
设抛物线表达式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线顶点为A(0,2)，
∴对称轴为y轴，b=0，c=2，即y=ax²+2。
将C(-1,0)代入得：a(-1)²+2=0，解得a=-2，
∴抛物线表达式为y=-2x²+2。
(2)解：抛物线经过点C'。理由如下：
∵矩形ABCO中，OA=2，OC=1，
∴AC=√(OC²+OA²)=√(1²+2²)=√5。
∵矩形ABCO绕点A旋转得到矩形AB'C'O'，
∴AC'=AC=√5，点A坐标为(0,2)。
设点C'坐标为(m,0)，则√[(m-0)²+(0-2)²]=√5，
即m²+4=5，解得m=1或m=-1（m=-1为点C，舍去），
∴点C'坐标为(1,0)。
将x=1代入抛物线表达式y=-2x²+2得：y=-2×1²+2=0，
∴点C'(1,0)在抛物线上，即抛物线经过点C'。