《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)的根与\Delta$的关系
(1)$\Delta ＞ 0 \Leftrightarrow$方程有两个不相等的实数根；
(2)$\Delta = 0 \Leftrightarrow$方程有两个相等的实数根；
(3)$\Delta ＜ 0 \Leftrightarrow$方程没有实数根.
一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理):若$x_1,x_2是一元二次方程ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的两个根,则有$x_1 + x_2 = $$-\dfrac{b}{a}$,$x_1 \cdot x_2 = $$\dfrac{c}{a}$.
一、判断一元二次方程根的情况

答案：
(1)两个不相等
(2)两个相等
(3)没有
$-\dfrac{b}{a}$；$\dfrac{c}{a}$

1. 下列一元二次方程无实数根的是 (C)
A.$x^2 + x - 2 = 0$
B.$x^2 - 2x = 0$
C.$x^2 + x + 5 = 0$
D.$x^2 - 2x + 1 = 0$

答案： C

2. 已知$a,b,c$为常数,点$P(a,c)$在第四象限,则关于$x的方程ax^2 + bx + c = 0$的根的情况是 (A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断

答案： A

3. 对于关于$x的一元二次方程x^2 - 4x - 2k = 0$,下列说法正确的为 (C)
A.$k ＜ 2$时,方程有两个不相等的实数根
B.$k ＜ 3$时,方程有两个不相等的实数根
C.$k ＞ -2$时,方程有两个不相等的实数根
D.$k ＞ -3$时,方程有两个不相等的实数根

答案： C

4. 小刚在解关于$x的方程ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$时,只抄对了$a = 1$,$b = 4$,解出其中一个根是$x = -1$.他核对时发现所抄的$c比原方程的c$值小2.则原方程的根的情况是 (A)
A.不存在实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是$x = -1$
D.有两个相等的实数根

答案： A

5. 已知关于$x的方程x^2 - 2kx + k^2 - 1 = 0$.
(1)求证：不论$k$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程有一根为5,求$k$的值.

答案：
(1) 证明见解析；
(2) $k$ 的值为 4 或 6。

6. 已知关于$x的一元二次方程x^2 - 4x + c = 0$有两个相等的实数根,则$c$的值为 (A)
A.4
B.2
C.1
D.-4

答案： A

7. 若关于$x的一元二次方程x^2 + x + m = 0$没有实数根,则$m$的取值范围是 (A)
A.$m ＞ \frac{1}{4}$
B.$m \leq \frac{1}{4}$
C.$m ＜ -\frac{1}{4}$
D.$m \geq -\frac{1}{4}$

答案： A

8. 已知,实数$x_1,x_2(x_1 \neq x_2)是关于x的方程kx^2 + 2kx + 1 = 0(k \neq 0)$的两个根.若$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 2$,则$k$的值为 (B)
A.1
B.-1
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： B