《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,正方形$ABCD的顶点A$,$C在抛物线y= -x^2+4$上,点$D在y$轴上. 若$A$,$C两点的横坐标分别为m$,$n(m＞n＞0)$,下列结论正确的是(B)

A.$m+n= 1$
B.$m-n= 1$
C.$m= 1$

D.$\frac{m}{n}= 1$

答案： 【解析】：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，根据的关于直线$y=x$对称点的特征是解题的关键。
由于$A$，$C$都在抛物线上，
那么有$A(m, -m^2+4)$，$C(n, -n^2+4)$。
因为$ABCD$是正方形，$AC$和$BD$互相垂直平分。
所以$AC$的中点就在$y$轴上。
由于$A$，$C$都在抛物线上，且它们的横坐标分别为$m$，$n(m \gt n \gt 0)$，
那么根据抛物线的对称性，
有$m+n=0$（这是不可能的，因为$m \gt n \gt 0$），
或者$A$，$C$关于直线$y=x$对称。
如果$A$，$C$关于直线$y=x$对称，
那么它们的坐标应该满足$(m, -m^2+4) \rightarrow (-n^2+4, n)$，
即$m=-n^2+4$且$-m^2+4=n$，同时$m \gt n \gt 0$。
将第一个方程代入第二个方程，
得到$-(-n^2+4)^2+4=n$，
化简后得到$n^4-8n^2+n+12=0$。
这个方程看起来很难解，但由于选项给出了$m$，$n$的关系，可以尝试直接代入验证。
若$m+n=1$，则$m=1-n$，
代入$m=-n^2+4$，
得到$1-n=-n^2+4$，
即$n^2-n-3=0$，
这个方程没有实数解，
所以A选项错误。
若$m-n=1$，则$m=n+1$，
代入$m=-n^2+4$，
得到$n+1=-n^2+4$，
即$n^2+n-3=0$，
解得$n=\frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$，
由于$n \gt 0$，
所以$n=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$，
进而$m=\frac{\sqrt{13}+1}{2}$，
满足$m \gt n \gt 0$，
所以B选项正确。
若$m=1$，则代入$m=-n^2+4$，
得到$1=-n^2+4$，
即$n^2=3$，
解得$n=\pm \sqrt{3}$，
由于$n \gt 0$，
所以$n=\sqrt{3}$，
但此时$m \neq n+1$，
不满足$m-n=1$，
且无法验证$ABCD$是正方形，
所以C选项错误。
若$\frac{m}{n}=1$，则$m=n$，
与$m \gt n$矛盾，
所以D选项错误。
【答案】：B.$m-n=1$。

9. 如图,抛物线$y= ax^2+1(a＜0)与过点(0,-3)且平行于x轴的直线相交于点A$,$B$,与$y轴交于点C$,若$\angle ACB$为直角,则$a= $$-\dfrac{1}{4}$.

答案： 解：
∵抛物线$y = ax^2 + 1(a ＜ 0)$与$y$轴交于点$C$，
∴令$x = 0$，得$y = 1$，即$C(0,1)$。
∵过点$(0,-3)$且平行于$x$轴的直线为$y = -3$，
联立$\begin{cases}y = ax^2 + 1 \\ y = -3\end{cases}$，解得$ax^2 = -4$，$x^2 = -\frac{4}{a}$（$a ＜ 0$，$-\frac{4}{a} ＞ 0$），
∴$x = \pm \sqrt{-\frac{4}{a}}$，则$A\left(-\sqrt{-\frac{4}{a}}, -3\right)$，$B\left(\sqrt{-\frac{4}{a}}, -3\right)$。
∵$\angle ACB = 90°$，
∴$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
计算得：
$AC^2 = \left(-\sqrt{-\frac{4}{a}} - 0\right)^2 + (-3 - 1)^2 = -\frac{4}{a} + 16$，
$BC^2 = \left(\sqrt{-\frac{4}{a}} - 0\right)^2 + (-3 - 1)^2 = -\frac{4}{a} + 16$，
$AB^2 = \left(\sqrt{-\frac{4}{a}} - \left(-\sqrt{-\frac{4}{a}}\right)\right)^2 + (-3 - (-3))^2 = \left(2\sqrt{-\frac{4}{a}}\right)^2 = -\frac{16}{a}$。
代入$AC^2 + BC^2 = AB^2$：
$\left(-\frac{4}{a} + 16\right) + \left(-\frac{4}{a} + 16\right) = -\frac{16}{a}$，
化简得：$-\frac{8}{a} + 32 = -\frac{16}{a}$，
解得$a = -\frac{1}{4}$。
$a = -\frac{1}{4}$

10. 如图,抛物线$y= -\frac{1}{2}x^2+2与x轴交于A$,$B$两点,其中点$A在x$轴的正半轴上,点$B在x$轴的负半轴上.
(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点$C$的坐标.
(2)在抛物线上是否存在一点$M$,使$\triangle MAC \cong \triangle OAC$？若存在,求出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)解：抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 + 2$的对称轴为直线$x=0$（或$y$轴），顶点$C$的坐标为$(0, 2)$。
(2)解：存在。
令$y=0$，则$-\frac{1}{2}x^2 + 2 = 0$，解得$x = \pm 2$。
因为点$A$在$x$轴正半轴，所以$A(2, 0)$，$O(0, 0)$。
$OA=2$，$OC=2$，$AC=\sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 2)^2}=2\sqrt{2}$。
要使$\triangle MAC \cong \triangle OAC$，分两种情况：
①当$AM=AO=2$，$CM=CO=2$时，设$M(x,y)$，则$\begin{cases}(x - 2)^2 + y^2 = 4 \\ x^2 + (y - 2)^2 = 4 \\ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2\end{cases}$，解得$M(-2, 0)$。
②当$AM=CO=2$，$CM=AO=2$时，同理可得无解。
综上，点$M$的坐标为$(-2, 0)$。

11. 如图,抛物线$y= ax^2+k(a＞0,k＜0)与x轴交于A$,$B$两点(点$B在点A$的右侧),其顶点为$C$,点$P为线段OC$上一点,且$PC= \frac{1}{4}OC$. 过点$P作DE // AB$,分别交抛物线于$D$,$E$两点(点$E在点D$的右侧),连接$OD$,$DC$.
(1)直接写出$A$,$B$,$C$三点的坐标.(用含$a$,$k$的式子表示)
(2)猜想线段$DE与AB$之间的数量关系,并证明你的猜想.
(3)若$\angle ODC= 90^\circ$,$k= -4$,求$a$的值.

答案：
(1) $A\left(-\sqrt{-\frac{k}{a}}, 0\right)$，$B\left(\sqrt{-\frac{k}{a}}, 0\right)$，$C(0, k)$
(2) $DE = \frac{1}{2}AB$
(3) $a = \frac{3}{4}$