《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

7. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,点D是AB的中点,连接CD,过点D作DE⊥CD,交BC于点E,若$tanA= \frac{4}{3},$BE= 7,则DE的长为3.

答案： 解：设AC=3k，BC=4k（k＞0），则AB=5k。
∵D是AB中点，
∴CD=AD=BD=2.5k，∠A=∠ACD。
过D作DF⊥BC于F，DF=1.5k，CF=2k，设EF=x，则CE=2k-x，BE=4k-(2k-x)=2k+x=7。
∵∠CDE=90°，
∴△CDF∽△DEF，$\frac{CF}{DF}=\frac{DF}{EF}$，即$\frac{2k}{1.5k}=\frac{1.5k}{x}$，解得$x=\frac{9}{8}k$。
由2k+$\frac{9}{8}k$=7，得k=$\frac{8}{5}$，DE=$\sqrt{(1.5k)^2+x^2}$=3。
3

8. 如图,在△ABC中,AB= BC,$tan∠B= \frac{5}{12},$D为BC上一点,若满足$CD= \frac{5}{8}BD,$过点D作DE⊥AD,交AC的延长线于点E,则\frac{CE}{AC}= ______$\frac{5}{4}$.

答案： 解：设 $ BD = 8k $，则 $ CD = \frac{5}{8}BD = 5k $，$ BC = BD + CD = 13k $。
∵ $ AB = BC $，
∴ $ AB = 13k $。
过点 $ A $ 作 $ AF \perp BC $ 于点 $ F $。
在 $ Rt\triangle ABF $ 中，$ \tan\angle B = \frac{AF}{BF} = \frac{5}{12} $，设 $ AF = 5m $，$ BF = 12m $。
由勾股定理得 $ AB^2 = AF^2 + BF^2 $，即 $ (13k)^2 = (5m)^2 + (12m)^2 $，解得 $ m = k $。
∴ $ AF = 5k $，$ BF = 12k $，$ FC = BC - BF = 13k - 12k = k $。
过点 $ C $ 作 $ CG \perp BC $ 交 $ DE $ 于点 $ G $。
∵ $ DE \perp AD $，$ CG \perp BC $，$ AF \perp BC $，
∴ $ \angle ADE = \angle DGC = \angle AFD = 90° $。
∵ $ \angle ADF + \angle EDG = 90° $，$ \angle EDG + \angle GDC = 90° $，
∴ $ \angle ADF = \angle GDC $。
∴ $ \triangle AFD \sim \triangle CGD $，$ \frac{AF}{CG} = \frac{FD}{CD} $。
$ FD = BF - BD = 12k - 8k = 4k $，$ CD = 5k $，$ AF = 5k $，$ \frac{5k}{CG} = \frac{4k}{5k} $，解得 $ CG = \frac{25k}{4} $。
∵ $ AF \perp BC $，$ CG \perp BC $，
∴ $ AF // CG $，$ \triangle AFC \sim \triangle EGC $，$ \frac{AF}{CG} = \frac{AC}{CE} $。
$ AC = \sqrt{AF^2 + FC^2} = \sqrt{(5k)^2 + k^2} = \sqrt{26}k $。
$ \frac{5k}{\frac{25k}{4}} = \frac{AC}{CE} $，$ \frac{4}{5} = \frac{AC}{CE} $，$ \frac{CE}{AC} = \frac{5}{4} $。
$\boxed{\frac{5}{4}}$

9. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC= 90°,∠C= 60°,$AB= \frac{\sqrt{3}}{2},$$BC= 1+\sqrt{3},$CD= 2.
(1)求tan∠ABD的值.
(2)求AD的长.

答案： 解：
(1)过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AB交AB延长线于点F。
在Rt△CDE中，∠C=60°，CD=2，
CE=CD·cos60°=2×1/2=1，
DE=CD·sin60°=2×√3/2=√3。
BC=1+√3，BE=BC-CE=1+√3-1=√3。
∵∠ABC=90°，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴四边形DEBF是矩形，BF=DE=√3，DF=BE=√3。
AB=√3/2，AF=AB+BF=√3/2+√3=3√3/2。
在Rt△ADF中，tan∠ABD=DF/AF=√3/(3√3/2)=2/3。
(2)在Rt△ADF中，AD=√(AF²+DF²)=√[(3√3/2)²+(√3)²]=√(27/4+3)=√(39/4)=√39/2。
(1)2/3；
(2)√39/2。

10. 中考热点·应用意识 阅读下列材料并解决问题.
如图1,在△ABC中,∠BAC,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,求证：$S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}absinC= \frac{1}{2}acsinB= \frac{1}{2}bcsinA.$证明：过点A作AD⊥BC,垂足为D,
在Rt△ABD中,$sinB= \frac{AD}{c},$
∴AD= c·sinB,
∴$S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}a·AD= \frac{1}{2}acsinB.$同理,$S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}absinC,$$S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}bcsinA,$
∴$S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}absinC= \frac{1}{2}acsinB= \frac{1}{2}bcsinA.(1)$求证：$\frac{a}{sinA}= \frac{b}{sinB}= \frac{c}{sinC}.(2)$运用(1)中的结论解决问题：如图2,在△ABC中,∠B= 15°,∠C= 60°,$AB= 20\sqrt{3},$则AC的长度为12.
(3)如图3,为了开发三角形荒地ABC,测量人员在B点测得A在北偏东75°方向上,沿笔直公路向正东方向行驶18 km到达C点,测得A在北偏西45°方向上.根据以上信息,求三角形荒地的面积.(参考数值：sin15°≈0.3,sin120°≈0.9,$\sqrt{2}≈1.4,$结果取整数)



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答案：
(2)$12$；
(3)$38$。