《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

12. ▶中考热点·创新题型 小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是(B)
A.$x^2 +6x +5= 0$
B.$x^2 -7x +10= 0$
C.$x^2 -5x +2= 0$
D.$x^2 -6x -10= 0$

答案： B

13. 设$x_1,x_2是关于x的一元二次方程x^2 -2(m +1)x +m^2 +2= 0$的两个实数根,且$(x_1 +1)(x_2 +1)= 8$,则$m$的值为1.

答案： $1$

14. 已知$x_1,x_2是一元二次方程(a -6)x^2 +2ax +a= 0$的两个实数根.
(1)是否存在实数$a$,使$-x_1 +x_1x_2= 4 +x_2$成立？若存在,求出$a$的值;若不存在,请你说明理由.
(2)求使$(x_1 +1)(x_2 +1)为负整数的实数a$的整数值.

答案：
(1)解：存在，理由如下：
∵方程有两个实数根，
∴$\begin{cases}a-6\neq0\\\Delta=(2a)^2-4(a-6)a\geq0\end{cases}$，解得$a\geq0$且$a\neq6$。
由根与系数关系得$x_1+x_2=-\frac{2a}{a-6}$，$x_1x_2=\frac{a}{a-6}$。
∵$-x_1+x_1x_2=4+x_2$，
∴$x_1x_2-(x_1+x_2)=4$，即$\frac{a}{a-6}-(-\frac{2a}{a-6})=4$，
$\frac{3a}{a-6}=4$，$3a=4a-24$，$a=24$。
经检验，$a=24$是方程的解且符合条件，
∴$a=24$。
(2)解：$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=\frac{a}{a-6}-\frac{2a}{a-6}+1=\frac{-a}{a-6}+1=\frac{-6}{a-6}$。
∵结果为负整数，
∴$\frac{-6}{a-6}$为负整数，即$\frac{6}{a-6}$为正整数。
∴$a-6=1,2,3,6$，解得$a=7,8,9,12$。
∵$a\geq0$且$a\neq6$，
∴$a=7,8,9,12$。

15. ▶中考热点·思维训练 如果关于$x的方程x^2 +px +q= 0的两个根是x_1,x_2$,那么$x_1 +x_2= -p,x_1 \cdot x_2= q$.请根据以上结论,解决下列问题：
(1)已知关于$x的方程x^2 +mx +n= 0(n≠0)$,求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数.
(2)已知$a,b满足a^2 -15a -5= 0,b^2 -15b -5= 0$,求$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值.
(3)已知$a,b,c满足a +b +c= 0,abc= 16$,求正数$c$的最小值.
]

答案：
(1)所求方程为$nx^{2}+mx + 1 = 0$；
(2)$-47$或$2$；
(3)$4$。